Geometría: Rectas, Planos y Distancias

**1) [0,75 PUNTOS] Escriba las ecuaciones paramétricas de la recta $r$.** Para obtener las ecuaciones paramétricas, identificamos un punto $A$ de la recta y un vector director $\vec{v}$ a partir de su forma continua. La ecuación continua es de la forma $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$, donde $(x_0, y_0, z_0)$ es un punto y $(v_x, v_y, v_z)$ es el vector director. En nuestro caso: - Punto de la recta: $A(2, 0, -1)$. - Vector director: $\vec{v} = (4, 1, 2)$. Introducimos el parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$ para escribir las ecuaciones: $$\begin{cases} x = 2 + 4\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 + 2\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las ecuaciones paramétricas no son únicas, ya que dependen del punto y del vector director elegido (cualquier vector proporcional sirve). ✅ **Resultado:** $$\boxed{r : \begin{cases} x = 2 + 4\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 + 2\lambda \end{cases}}$$

**2) [1,5 PUNTOS] Calcule la distancia de $P$ a $r$.** Utilizaremos la fórmula de la distancia de un punto a una recta basada en el producto vectorial: $$d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$$ Donde: - $P(0, 2, 2)$ es el punto dado. - $A(2, 0, -1)$ es un punto de la recta $r$. - $\vec{v}(4, 1, 2)$ es el vector director de $r$. Primero, calculamos el vector $\vec{AP}$: $$\vec{AP} = P - A = (0 - 2, 2 - 0, 2 - (-1)) = (-2, 2, 3)$$ 💡 **Tip:** El vector $\vec{AP}$ une cualquier punto de la recta con el punto exterior $P$. Es fundamental para proyectar el área del paralelogramo sobre la base.

Calculamos el producto vectorial $\vec{AP} \times \vec{v}$ mediante el determinante: $$\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por los elementos de la primera fila: $$\vec{AP} \times \vec{v} = \vec{i}(2 \cdot 2 - 3 \cdot 1) - \vec{j}((-2) \cdot 2 - 3 \cdot 4) + \vec{k}((-2) \cdot 1 - 2 \cdot 4)$$ $$\vec{AP} \times \vec{v} = \vec{i}(4 - 3) - \vec{j}(-4 - 12) + \vec{k}(-2 - 8)$$ $$\vec{AP} \times \vec{v} = (1, 16, -10)$$ Calculamos su módulo: $$|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{1^2 + 16^2 + (-10)^2} = \sqrt{1 + 256 + 100} = \sqrt{357}$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial $|\vec{AP} \times \vec{v}|$ representa el área del paralelogramo formado por ambos vectores.

Calculamos el módulo del vector director $\vec{v}$: $$|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}$$ Aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(P, r) = \frac{\sqrt{357}}{\sqrt{21}} = \sqrt{\frac{357}{21}} = \sqrt{17} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, r) = \sqrt{17} \approx 4,123}$$

**3) [1 PUNTO] Calcule un plano perpendicular a $r$ que pase por el punto $P$.** Si el plano $\pi$ es perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}$ será el vector normal del plano $\vec{n}$. Datos: - Vector normal $\vec{n} = \vec{v} = (4, 1, 2)$. - Punto de paso $P(0, 2, 2)$. La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos los componentes de $\vec{n}$: $$4x + y + 2z + D = 0$$ Hallamos $D$ obligando al plano a pasar por $P(0, 2, 2)$: $$4(0) + 1(2) + 2(2) + D = 0$$ $$0 + 2 + 4 + D = 0 \implies D = -6$$ La ecuación del plano es: $$4x + y + 2z - 6 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la condición de perpendicularidad entre recta y plano implica que el vector director de la recta es paralelo al vector normal del plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi : 4x + y + 2z - 6 = 0}$$