Cálculo de una primitiva y área bajo la curva

**1) [2,5 PUNTOS] Calcule una primitiva de $f$. Compruebe la solución obtenida.** Para calcular una primitiva $F(x) = \int \frac{x}{\sqrt{1+x}} \, dx$, observamos que podemos manipular algebraicamente el numerador para facilitar la integración sin necesidad de realizar un cambio de variable complejo. Sumamos y restamos $1$ en el numerador: $$f(x) = \frac{x+1-1}{\sqrt{1+x}} = \frac{x+1}{\sqrt{1+x}} - \frac{1}{\sqrt{1+x}}$$ Expresamos las raíces como potencias: $$f(x) = (x+1)^{1} \cdot (x+1)^{-1/2} - (x+1)^{-1/2} = (x+1)^{1/2} - (x+1)^{-1/2}$$ 💡 **Tip:** Esta técnica de sumar y restar un número en el numerador es muy útil en funciones racionales o irracionales para descomponer la fracción en sumas más sencillas.

Ahora integramos término a término utilizando la regla de la potencia para funciones de tipo $(ax+b)^n$: $$F(x) = \int \left( (x+1)^{1/2} - (x+1)^{-1/2} \right) dx = \frac{(x+1)^{3/2}}{3/2} - \frac{(x+1)^{1/2}}{1/2} + C$$ Simplificamos los coeficientes: $$F(x) = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} - 2(x+1)^{1/2} + C$$ Para presentar la primitiva de forma más elegante, podemos extraer factor común $2(x+1)^{1/2}$: $$F(x) = 2(x+1)^{1/2} \left[ \frac{1}{3}(x+1) - 1 \right] = 2\sqrt{1+x} \left( \frac{x+1-3}{3} \right) = \frac{2(x-2)\sqrt{1+x}}{3} + C$$ Como nos piden "una" primitiva, podemos tomar $C=0$. ✅ **Resultado (Primitiva):** $$\boxed{F(x) = \frac{2(x-2)\sqrt{1+x}}{3}}$$

Para comprobar que la solución es correcta, derivamos $F(x)$ y debemos obtener $f(x)$. Usamos la expresión $F(x) = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} - 2(x+1)^{1/2}$: $$F'(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} (x+1)^{1/2} - 2 \cdot \frac{1}{2} (x+1)^{-1/2}$$ $$F'(x) = (x+1)^{1/2} - (x+1)^{-1/2} = \sqrt{x+1} - \frac{1}{\sqrt{x+1}}$$ Operamos para obtener un denominador común: $$F'(x) = \frac{(\sqrt{x+1})^2 - 1}{\sqrt{x+1}} = \frac{x+1-1}{\sqrt{x+1}} = \frac{x}{\sqrt{x+1}}$$ Efectivamente, $F'(x) = f(x)$, por lo que la primitiva es correcta.

**2) [1 PUNTO] Calcule el área encerrada por $f$ y el eje $y = 0$ y las rectas $x = 0$ y $x = 4$.** El área viene dada por la integral definida de la función entre los límites indicados. Primero, analizamos el signo de la función en el intervalo $[0, 4]$. - En $x=0$, $f(0) = 0$. - Para $x \gt 0$, tanto el numerador como el denominador son positivos, luego $f(x) \gt 0$. Al ser la función positiva en todo el intervalo, el área es simplemente la integral definida: $$A = \int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{1+x}} \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar si la función corta al eje $X$ dentro del intervalo de integración para separar la integral en varios recintos si fuera necesario.

Aplicamos la Regla de Barrow utilizando la primitiva calculada anteriormente: $$A = [F(x)]_{0}^{4} = \left[ \frac{2(x-2)\sqrt{1+x}}{3} \right]_{0}^{4}$$ Sustituimos los límites superior e inferior: - Para $x=4$: $$F(4) = \frac{2(4-2)\sqrt{1+4}}{3} = \frac{2 \cdot 2 \sqrt{5}}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{3}$$ - Para $x=0$: $$F(0) = \frac{2(0-2)\sqrt{1+0}}{3} = \frac{2 \cdot (-2) \cdot 1}{3} = -\frac{4}{3}$$ Calculamos la diferencia: $$A = F(4) - F(0) = \frac{4\sqrt{5}}{3} - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4\sqrt{5} + 4}{3}$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{3} \approx 4,31 \text{ u}^2}$$