Ecuación matricial, dimensiones e invertibilidad

**1) [0,25 PUNTOS] ¿Cuantas filas y columnas debe tener la matriz $M$?** Para que el producto de matrices sea posible, el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda. Además, la matriz resultante tendrá las filas de la primera y las columnas de la segunda. En la ecuación $A_{m \times n} \cdot M_{n \times p} = B_{m \times p}$: - La matriz $A$ es de orden $3 \times 3$. - La matriz $B$ es de orden $3 \times 2$. Por tanto, para que $A \cdot M$ sea posible, $M$ debe tener **3 filas** (para coincidir con las 3 columnas de $A$). Para que el resultado sea una matriz $3 \times 2$ (como $B$), $M$ debe tener **2 columnas**. 💡 **Tip:** Recuerda que si multiplicas una matriz $(m \times n)$ por una $(n \times p)$, el resultado es una matriz $(m \times p)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{M \text{ debe ser una matriz de orden } 3 \times 2}$$

**2) [1,5 PUNTOS] ¿Para qué valores de $t$ es la matriz $A$ invertible?** Una matriz cuadrada $A$ es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} t & 2t & 2 \\ -1 & t & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (t \cdot t \cdot 1) + (2t \cdot 1 \cdot (-1)) + (2 \cdot (-1) \cdot 1) - [2 \cdot t \cdot (-1) + t \cdot 1 \cdot 1 + 2t \cdot (-1) \cdot 1]$$ $$|A| = (t^2 - 2t - 2) - (-2t + t - 2t)$$ $$|A| = t^2 - 2t - 2 - (-3t) = t^2 - 2t - 2 + 3t$$ $$|A| = t^2 + t - 2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$t^2 + t - 2 = 0$$ $$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: $t_1 = 1$ y $t_2 = -2$. 💡 **Tip:** El determinante es la herramienta principal para estudiar la existencia de la matriz inversa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \text{ es invertible para todo } t \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 1\}}$$

**3) [1,5 PUNTOS] En el caso $t = -1$, despeje la matriz $M$ en función de las matrices $A$ y $B$ y calcule su valor.** Partimos de la ecuación matricial: $$A \cdot M = B$$ Como para $t = -1$ el determinante $|A| = (-1)^2 + (-1) - 2 = -2 \neq 0$, existe la matriz inversa $A^{-1}$. Multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ en ambos miembros: $$A^{-1} \cdot (A \cdot M) = A^{-1} \cdot B$$ $$(A^{-1} \cdot A) \cdot M = A^{-1} \cdot B$$ $$I \cdot M = A^{-1} \cdot B$$ $$M = A^{-1} \cdot B$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de la multiplicación importa. Si multiplicas por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro.

Para $t = -1$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ y su determinante es $|A| = -2$. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = + \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2$; $A_{12} = - \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$; $A_{13} = + \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{21} = - \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 4$; $A_{22} = + \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1$; $A_{23} = - \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 3$ - $A_{31} = + \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$; $A_{32} = - \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1$; $A_{33} = + \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -1$ Nota: Corregimos el cálculo de $A_{33} = (-1)(-1) - (-2)(-1) = 1 - 2 = -1$. Recalculamos $A_{33}$ con cuidado: $A_{33} = + \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-1) - (-2)(-1) = 1 - 2 = -1$. *Fe de erratas en proceso mental*: Vamos a asegurar la adjunta traspuesta directamente: $$[\text{Adj}(A)]^T = \begin{pmatrix} -2 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -2 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$ Entonces: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} [\text{Adj}(A)]^T = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -2 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -2 & 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & -1/2 & 1/2 \\ 1 & -3/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$

Ahora calculamos $M = A^{-1} \cdot B$: $$M = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & -1/2 & 1/2 \\ 1 & -3/2 & 1/2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(1)(1) + (-2)(0) + (0)(-2) = 1$; $(1)(-3) + (-2)(1) + (0)(2) = -5$ - Fila 2: $(0)(1) + (-1/2)(0) + (1/2)(-2) = -1$; $(0)(-3) + (-1/2)(1) + (1/2)(2) = 1/2$ - Fila 3: $(1)(1) + (-3/2)(0) + (1/2)(-2) = 0$; $(1)(-3) + (-3/2)(1) + (1/2)(2) = -3 - 3/2 + 1 = -7/2$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{M = \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 1/2 \\ 0 & -7/2 \end{pmatrix}}$$