Ecuaciones del plano, recta perpendicular y distancia punto-plano

**1) [0,5 PUNTOS] Calcule la ecuación implícita (general) del plano $Q$.** A partir de la ecuación vectorial del plano $Q$, identificamos un punto $P$ contenido en el plano y dos vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$: - Punto: $P(0, 0, 1)$ - Vector director 1: $\vec{u} = (2, -1, 0)$ - Vector director 2: $\vec{v} = (2, -1, 1)$ Para obtener la ecuación implícita, consideramos un punto genérico $X(x, y, z)$ del plano y planteamos el determinante formado por el vector $\vec{PX} = (x-0, y-0, z-1)$ y los vectores directores, el cual debe ser igual a cero para que sean coplanarios: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 0 & z - 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ 💡 **Tip:** La ecuación implícita de un plano que pasa por $P(x_0, y_0, z_0)$ con vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ se obtiene resolviendo el determinante de $(\vec{PX}, \vec{u}, \vec{v}) = 0$.

Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila (o aplicando la regla de Sarrus): $$(x) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - (y) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + (z-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos los menores de orden 2: - Para $x$: $(-1)(1) - (0)(-1) = -1$ - Para $y$: $(2)(1) - (0)(2) = 2$ - Para $z-1$: $(2)(-1) - (-1)(2) = -2 + 2 = 0$ Sustituyendo: $$-1x - 2y + 0(z-1) = 0 \implies -x - 2y = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar la expresión obtenemos la ecuación general: ✅ **Resultado (ecuación del plano):** $$\boxed{Q: x + 2y = 0}$$

**2) [1,25 PUNTOS] Calcule la recta que pasa por $(-1, 2, 4)$ que sea perpendicular al plano $Q$.** Si una recta $r$ es perpendicular a un plano $Q$, el vector director de la recta $\vec{d_r}$ debe ser paralelo (o igual) al vector normal del plano $\vec{n_Q}$. Dada la ecuación implícita $Q: x + 2y = 0$, el vector normal es el formado por los coeficientes de $x, y, z$: $$\vec{n_Q} = (1, 2, 0)$$ Por tanto, tomamos como vector director de nuestra recta: $$\vec{d_r} = (1, 2, 0)$$ 💡 **Tip:** Si una recta es perpendicular a $Ax + By + Cz + D = 0$, su vector director es $\vec{d} = (A, B, C)$.

Utilizamos el punto dado $A(-1, 2, 4)$ y el vector director $\vec{d_r} = (1, 2, 0)$ para escribir las ecuaciones paramétricas de la recta: $$r: \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = 2 + 2\lambda \\ z = 4 \end{cases}, \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado (recta perpendicular):** $$\boxed{r: \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = 2 + 2\lambda \\ z = 4 \end{cases}}$$

**3) [1,5 PUNTOS] Calcule la distancia del punto $(-1, 2, 4)$ al plano $Q$.** Para calcular la distancia de un punto $A(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Q: Ax + By + Cz + D = 0$, utilizamos la fórmula general: $$d(A, Q) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso: - Punto $A(-1, 2, 4)$ - Plano $Q: 1x + 2y + 0z + 0 = 0$ Sustituimos los valores: $$d(A, Q) = \frac{|1(-1) + 2(2) + 0(4) + 0|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el valor absoluto en el numerador asegura que la distancia sea siempre una magnitud positiva.

Operamos los valores obtenidos: $$d(A, Q) = \frac{|-1 + 4|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|3|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$$ Racionalizamos el resultado multiplicando numerador y denominador por $\sqrt{5}$: $$d(A, Q) = \frac{3\sqrt{5}}{5} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(A, Q) = \frac{3\sqrt{5}}{5} \approx 1,34 \text{ u}}$$