Continuidad con parámetros, cálculo de áreas y extremos relativos

**1) [1,5 PUNTOS] Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo $\mathbb{R}$.** Para que la función $f(x)$ sea continua en todo $\mathbb{R}$, debe ser continua en cada una de sus ramas y, especialmente, en los puntos de salto entre intervalos: $x = 3$ y $x = 5$. Las funciones que componen las ramas ($ax^2+x+3$, $2x^2-3$ y $be^x$) son polinómicas y exponenciales, por lo que son continuas en sus respectivos dominios de definición. El estudio se centra en los puntos de división. 💡 **Tip:** Una función es continua en $x=c$ si existe el límite, existe la función y ambos coinciden: $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$.

Para que $f(x)$ sea continua en $x = 3$, se debe cumplir: $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$$ Calculamos los límites laterales: - Límite por la izquierda ($x \le 3$): $$\lim_{x \to 3^-} (ax^2 + x + 3) = a(3)^2 + 3 + 3 = 9a + 6$$ - Límite por la derecha ($x > 3$): $$\lim_{x \to 3^+} (2x^2 - 3) = 2(3)^2 - 3 = 18 - 3 = 15$$ Igualamos ambos resultados para asegurar la continuidad: $$9a + 6 = 15 \implies 9a = 9 \implies a = 1$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{a = 1}$$

Para que $f(x)$ sea continua en $x = 5$, se debe cumplir: $$\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^+} f(x) = f(5)$$ Calculamos los límites laterales: - Límite por la izquierda ($x < 5$): $$\lim_{x \to 5^-} (2x^2 - 3) = 2(5)^2 - 3 = 50 - 3 = 47$$ - Límite por la derecha ($x \ge 5$): $$\lim_{x \to 5^+} (be^x) = be^5$$ Igualamos para asegurar la continuidad: $$be^5 = 47 \implies b = \frac{47}{e^5} = 47e^{-5}$$ ✅ **Resultado final del apartado 1:** $$\boxed{a = 1, \quad b = 47e^{-5} \approx 0.3167}$$

**2) [1 PUNTO] Si $a = 1, b = 3$, calcule el área encerrada bajo la gráfica de $f$ comprendido entre las rectas $x = -1$ y $x = 3$.** El intervalo solicitado es $[-1, 3]$. Observando la definición de la función: $$f(x) = \begin{cases} 1x^2 + x + 3 & \text{si } x \leq 3 \\ \dots & \text{si } x > 3 \end{cases}$$ En todo el intervalo $[-1, 3]$, la función está definida por la primera rama: $f(x) = x^2 + x + 3$. Como $f(x) > 0$ en dicho intervalo (es una parábola con ramas hacia arriba y vértice fuera del intervalo en la zona positiva), el área coincide con la integral definida. 💡 **Tip:** El área bajo la curva $f(x)$ entre $x=a$ y $x=b$ es $\int_{a}^{b} f(x) dx$ si $f(x) \ge 0$ en ese intervalo.

Calculamos la integral definida utilizando la Regla de Barrow: $$Area = \int_{-1}^{3} (x^2 + x + 3) \, dx$$ Buscamos una primitiva $F(x)$: $$F(x) = \int (x^2 + x + 3) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 3x$$ Aplicamos los límites de integración: $$Area = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 3x \right]_{-1}^{3}$$ $$Area = \left( \frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 3(3) \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 3(-1) \right)$$ $$Area = (9 + 4.5 + 9) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 3 \right)$$ $$Area = 22.5 - \left( \frac{-2 + 3 - 18}{6} \right) = \frac{45}{2} - \left( -\frac{17}{6} \right)$$ $$Area = \frac{45}{2} + \frac{17}{6} = \frac{135 + 17}{6} = \frac{152}{6} = \frac{76}{3}$$ ✅ **Resultado final del apartado 2:** $$\boxed{Area = \frac{76}{3} \text{ u}^2 \approx 25.33 \text{ u}^2}$$

**3) [1 PUNTO] Calcule los extremos relativos de la función $g(x) = 2x^2 + x + 3$.** Para hallar los extremos relativos de $g(x)$, primero calculamos su derivada primera: $$g'(x) = 4x + 1$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$4x + 1 = 0 \implies 4x = -1 \implies x = -\frac{1}{4}$$ 💡 **Tip:** Los candidatos a extremos relativos son los puntos donde la derivada es cero o no existe.

Para determinar si es un máximo o un mínimo, podemos usar la segunda derivada o estudiar el signo de $g'(x)$. **Método 1: Segunda derivada** $$g''(x) = 4$$ Como $g''(-1/4) = 4 > 0$, el punto es un **mínimo relativo**. **Método 2: Tabla de signos de $g'(x)$** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1/4) & -1/4 & (-1/4, +\infty) \\ \hline g'(x) & - & 0 & + \\ \text{Comportamiento} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Calculamos la coordenada $y$ del mínimo: $$g(-1/4) = 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right) + 3 = 2\left(\frac{1}{16}\right) - \frac{1}{4} + 3 = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} + \frac{24}{8} = \frac{23}{8}$$ ✅ **Resultado final del apartado 3:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } \left(-\frac{1}{4}, \frac{23}{8}\right)}$$