Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**1) [0,25 PUNTOS] Escriba el sistema de ecuaciones como un sistema matricial de la forma $A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = B$.** Para escribir el sistema en forma matricial, identificamos la matriz de coeficientes ($A$), el vector de incógnitas ($X$) y el vector de términos independientes ($B$). El sistema es: $$\begin{cases} 1x + 1y + 1z = 3 \\ 2tx + 1y + (t + 1)z = 1 \\ (t - 1)x + ty + tz = -2 \end{cases}$$ La forma matricial es: $$\boxed{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2t & 1 & t + 1 \\ t - 1 & t & t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}}$$ Donde: - $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2t & 1 & t + 1 \\ t - 1 & t & t \end{pmatrix}$ - $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ - $B = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

**2) [3 PUNTOS] Clasifique el sistema en función del valor del parámetro $t$, calculando todas las soluciones en los casos en los que sea compatible.** Para clasificar el sistema según el **Teorema de Rouché-Capelli**, primero calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $|A|$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2t & 1 & t + 1 \\ t - 1 & t & t \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = [1 \cdot 1 \cdot t + 1 \cdot (t+1) \cdot (t-1) + 1 \cdot 2t \cdot t] - [(t-1) \cdot 1 \cdot 1 + t \cdot (t+1) \cdot 1 + t \cdot 2t \cdot 1]$$ $$|A| = [t + (t^2 - 1) + 2t^2] - [t - 1 + t^2 + t + 2t^2]$$ $$|A| = [3t^2 + t - 1] - [3t^2 + 2t - 1]$$ $$|A| = 3t^2 + t - 1 - 3t^2 - 2t + 1 = -t$$ Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos: $$-t = 0 \implies t = 0$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica para qué valores el rango de la matriz es máximo (igual al número de incógnitas).

Analizamos los casos según el valor de $t$: **Caso 1: $t \neq 0$** Si $t \neq 0$, entonces $|A| \neq 0$. Por tanto: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n \text{ (nº de incógnitas)}$$ El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**: tiene una solución única para cada valor de $t$. **Caso 2: $t = 0$** Si $t = 0$, la matriz ampliada $A^*$ es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & -2 \end{array}\right)$$ Como $|A| = 0$, el $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Calculamos el rango de $A^*$ comprobando el determinante de las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = [(-2) + (-1) + 0] - [(-3) + 0 + 0] = -3 + 3 = 0$$ Al ser cero todos los menores de orden 3 de la ampliada (el de las columnas 1,3,4 y 2,3,4 también darán 0 al ser las columnas 2 y 3 idénticas cuando $t=0$): $$\text{rg}(A^*) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$, por el Teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**: tiene infinitas soluciones. ✅ **Clasificación:** $$\boxed{\begin{cases} t \neq 0 \implies \text{SCD} \\ t = 0 \implies \text{SCI} \end{cases}}$$

Para $t \neq 0$, resolvemos usando la **Regla de Cramer**. Sabemos que $|A| = -t$. Calculamos los determinantes de las incógnitas: $$\Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & t + 1 \\ -2 & t & t \end{vmatrix} = [3t - 2(t+1) + t] - [-2 + 3t(t+1) + t] = -3t^2 - 2t = -t(3t + 2)$$ $$x = \frac{\Delta_x}{|A|} = \frac{-t(3t+2)}{-t} = 3t + 2$$ $$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2t & 1 & t + 1 \\ t - 1 & -2 & t \end{vmatrix} = [t + 3(t^2-1) - 4t] - [(t-1) - 2(t+1) + 6t^2] = -3t^2 - 2t = -t(3t + 2)$$ $$y = \frac{\Delta_y}{|A|} = \frac{-t(3t+2)}{-t} = 3t + 2$$ $$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2t & 1 & 1 \\ t - 1 & t & -2 \end{vmatrix} = [-2 + (t-1) + 6t^2] - [3(t-1) + t - 4t] = 6t^2 + t = t(6t + 1)$$ $$z = \frac{\Delta_z}{|A|} = \frac{t(6t + 1)}{-t} = -(6t + 1) = -6t - 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la regla de Cramer, $x_i = \frac{|A_i|}{|A|}$ donde $A_i$ es la matriz resultante de sustituir la columna $i$ por los términos independientes. ✅ **Solución SCD ($t \neq 0$):** $$\boxed{x = 3t + 2, \quad y = 3t + 2, \quad z = -6t - 1}$$

Para $t = 0$, el sistema original se reduce. Usamos las dos primeras ecuaciones ya que el rango es 2: $$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 0x + y + z = 1 \end{cases}$$ De la segunda ecuación: $y + z = 1$. Sustituimos en la primera: $x + (y + z) = 3 \implies x + 1 = 3 \implies x = 2$. Para parametrizar las soluciones, hacemos $z = \lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$: $$y = 1 - z = 1 - \lambda$$ Verificamos con la tercera ecuación del sistema original para $t=0$: $(-1)x + 0y + 0z = -2 \implies -2 = -2$, lo cual es coherente. ✅ **Solución SCI ($t = 0$):** $$\boxed{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$