Geometría: Posición relativa de planos y recta normal

**1) [0,25 PUNTOS] Extraiga el vector normal al plano $P$ de su ecuación implícita (general).** Dada la ecuación implícita o general de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal $\vec{n}$ viene dado directamente por los coeficientes de las variables $x$, $y$ y $z$. Para el plano $P: 1x + 3y + 2z - 1 = 0$, identificamos: - $A = 1$ - $B = 3$ - $C = 2$ 💡 **Tip:** El vector normal es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano. En la ecuación general, estos coeficientes definen la orientación del plano en el espacio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{n}_P = (1, 3, 2)}$$

**2) [1 PUNTO] Calcule ecuaciones paramétricas del plano $P$.** Para obtener las ecuaciones paramétricas del plano $P: x + 3y + 2z - 1 = 0$, necesitamos un punto $A \in P$ y dos vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ que sean linealmente independientes y paralelos al plano. **1. Hallamos un punto del plano:** Damos valores arbitrarios a dos variables, por ejemplo $y = 0$ y $z = 0$: $$x + 3(0) + 2(0) - 1 = 0 \implies x = 1.$$ El punto es **$A(1, 0, 0)$**. **2. Hallamos los vectores directores:** Buscamos dos vectores $(x, y, z)$ tales que su producto escalar con el normal sea cero: $(x, y, z) \cdot (1, 3, 2) = 0 \implies x + 3y + 2z = 0$. - Si hacemos $y = 1, z = 0 \implies x = -3$. Vector **$\vec{u} = (-3, 1, 0)$**. - Si hacemos $y = 0, z = 1 \implies x = -2$. Vector **$\vec{v} = (-2, 0, 1)$**. **3. Escribimos las ecuaciones paramétricas:** $$\begin{cases} x = 1 - 3\lambda - 2\mu \\ y = \lambda \\ z = \mu \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícita a paramétricas, también puedes despejar una variable (la más sencilla, en este caso $x = 1 - 3y - 2z$) y asignar parámetros a las otras dos variables. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P: \begin{cases} x = 1 - 3\lambda - 2\mu \\ y = \lambda \\ z = \mu \end{cases} \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$

**3) [1 PUNTO] Determine la posición relativa de los planos $P$ y $Q$.** Comparamos los coeficientes de las ecuaciones de los planos: $P: 1x + 3y + 2z - 1 = 0$ $Q: 2x + 6y + 4z + 3 = 0$ Analizamos la proporcionalidad de los coeficientes $A, B, C$ (vectores normales) y el término independiente $D$: $$\frac{A_P}{A_Q} = \frac{1}{2}; \quad \frac{B_P}{B_Q} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}; \quad \frac{C_P}{C_Q} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{D_P}{D_Q} = \frac{-1}{3}$$ Observamos que: $$\frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{2}{4} \neq \frac{-1}{3}$$ Como los vectores normales son proporcionales (paralelos), pero los términos independientes no mantienen esa misma proporción, concluimos que los planos no tienen puntos en común. 💡 **Tip:** Si todos los coeficientes incluyendo $D$ fueran proporcionales, los planos serían coincidentes. Si los normales no son proporcionales, los planos son secantes (se cortan en una recta). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los planos } P \text{ e } Q \text{ son paralelos.}}$$

**4) [1 PUNTO] Calcule la recta normal a $Q$ que pase por el punto $(0, 0, 0)$.** Una recta $r$ es normal (perpendicular) al plano $Q$ si su vector director $\vec{v}_r$ es paralelo al vector normal del plano $\vec{n}_Q$. Extraemos el vector normal de $Q: 2x + 6y + 4z + 3 = 0$: $$\vec{n}_Q = (2, 6, 4)$$ Podemos simplificarlo usando un vector proporcional para facilitar los cálculos: $\vec{v}_r = (1, 3, 2)$. La recta debe pasar por el origen $O(0, 0, 0)$. Usamos la ecuación paramétrica de la recta: $$\begin{cases} x = x_0 + v_1 t \\ y = y_0 + v_2 t \\ z = z_0 + v_3 t \end{cases}$$ Sustituyendo el punto $(0,0,0)$ y el vector $(1,3,2)$: $$\begin{cases} x = t \\ y = 3t \\ z = 2t \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En geometría 3D, la dirección de una recta perpendicular a un plano es siempre el vector normal de dicho plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \begin{cases} x = t \\ y = 3t \\ z = 2t \end{cases} \quad \forall t \in \mathbb{R}}$$