Optimización del perímetro y recta tangente

**1) [2,5 PUNTOS] Calcule el rectángulo de base $x$ cm, altura $y$ cm y diagonal $3\sqrt{2}$ cm cuyo perímetro sea máximo.** Primero, identificamos la relación entre la base $x$, la altura $y$ y la diagonal del rectángulo. Según el Teorema de Pitágoras, en un triángulo rectángulo formado por la base, la altura y la diagonal: $$x^2 + y^2 = (3\sqrt{2})^2$$ $$x^2 + y^2 = 9 \cdot 2 = 18$$ De aquí, podemos despejar $y$ en función de $x$ (teniendo en cuenta que las dimensiones deben ser positivas, $x, y \gt 0$): $$y = \sqrt{18 - x^2}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización geométrica, el Teorema de Pitágoras es la herramienta habitual para relacionar dimensiones lineales con diagonales.

La función que queremos maximizar es el perímetro $P$ del rectángulo. El perímetro de un rectángulo de lados $x$ e $y$ es: $$P = 2x + 2y$$ Sustituimos la expresión de $y$ obtenida anteriormente para tener el perímetro como una función de una sola variable $x$: $$P(x) = 2x + 2\sqrt{18 - x^2}$$ El dominio de esta función, dado que los lados deben ser positivos y el radicando no puede ser negativo, es $x \in (0, \sqrt{18})$.

Para encontrar el máximo, calculamos la derivada $P'(x)$ e igualamos a cero: $$P'(x) = 2 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{18 - x^2}} \cdot (-2x) = 2 - \frac{2x}{\sqrt{18 - x^2}}$$ Igualamos a cero: $$2 - \frac{2x}{\sqrt{18 - x^2}} = 0 \implies 2 = \frac{2x}{\sqrt{18 - x^2}} \implies 1 = \frac{x}{\sqrt{18 - x^2}}$$ $$\sqrt{18 - x^2} = x \implies 18 - x^2 = x^2 \implies 18 = 2x^2 \implies x^2 = 9$$ Como $x$ debe ser positivo, obtenemos el punto crítico: $$\boxed{x = 3}$$

Estudiamos el signo de $P'(x)$ alrededor de $x = 3$ para confirmar que es un máximo relativo: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,3) & 3 & (3,\sqrt{18})\\ \hline P'(x) & + & 0 & -\\ \hline P(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - Para $x=1$: $P'(1) = 2 - \frac{2}{\sqrt{17}} \gt 0$. - Para $x=4$: $P'(4) = 2 - \frac{8}{\sqrt{2}} \approx 2 - 5.6 \lt 0$. Al haber un máximo en $x = 3$, calculamos el valor de $y$: $$y = \sqrt{18 - 3^2} = \sqrt{18 - 9} = \sqrt{9} = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 3 \text{ cm}, y = 3 \text{ cm}}$$ *(Se trata de un cuadrado de lado 3 cm)*

**2) [1 PUNTO] Calcule la recta tangente a la función $h(x) = x^2 + x$ en el punto $(1, 2)$.** La ecuación de la recta tangente en un punto $(a, h(a))$ viene dada por: $$y - h(a) = h'(a)(x - a)$$ En este caso, $a = 1$ y el punto es $(1, 2)$, por lo que $h(1) = 2$. Calculamos la derivada de la función $h(x) = x^2 + x$: $$h'(x) = 2x + 1$$ La pendiente de la tangente $m$ es el valor de la derivada en $x = 1$: $$m = h'(1) = 2(1) + 1 = 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Sustituimos el punto $(1, 2)$ y la pendiente $m = 3$ en la fórmula de la recta punto-pendiente: $$y - 2 = 3(x - 1)$$ Desarrollamos para obtener la forma explícita: $$y - 2 = 3x - 3 \implies y = 3x - 3 + 2 \implies y = 3x - 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 3x - 1}$$