Estudio del rango de una matriz e inversión

**1) [2,25 PUNTOS] Calcule el rango de $M$ en función del valor de $x$.** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Empezamos calculando el determinante de $M$ utilizando la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} x & -x & x \\ 1 & -x & x \\ x & 2x & x \end{vmatrix}$$ $$|M| = [x \cdot (-x) \cdot x + (-x) \cdot x \cdot x + x \cdot 1 \cdot (2x)] - [x \cdot (-x) \cdot x + (2x) \cdot x \cdot x + x \cdot 1 \cdot (-x)]$$ Operamos los términos: $$|M| = [-x^3 - x^3 + 2x^2] - [-x^3 + 2x^3 - x^2]$$ $$|M| = (-2x^3 + 2x^2) - (x^3 - x^2)$$ $$|M| = -3x^3 + 3x^2$$ Para facilitar el estudio del rango, factorizamos la expresión: $$\boxed{|M| = 3x^2(1-x)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de una matriz cuadrada de orden $n$ es distinto de cero, su rango es máximo (rango $n$).

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $x$: $$3x^2(1-x) = 0 \implies x^2 = 0 \text{ o } 1-x = 0$$ Esto nos da dos valores: **$x = 0$** y **$x = 1$**. **Caso 1: Si $x \neq 0$ y $x \neq 1$** En este caso, el determinante $|M| \neq 0$. Como el determinante de la matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, la matriz tiene 3 filas y columnas linealmente independientes. Por lo tanto: $$\boxed{\text{Si } x \neq 0, 1 \implies \text{rango}(M) = 3}$$

**Caso 2: Si $x = 0$** Sustituimos $x = 0$ en la matriz $M$: $$M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Todas las filas son nulas excepto la segunda. Solo hay un elemento distinto de cero ($1$). Por tanto, el rango es 1. **Caso 3: Si $x = 1$** Sustituimos $x = 1$ en la matriz $M$: $$M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la primera y la segunda fila son iguales ($F_1 = F_2$), por lo que el determinante es 0. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-1) = 3 \neq 0$$ Al existir un menor de orden 2 no nulo, el rango es 2. ✅ **Resultado del apartado 1:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } x \neq 0, 1 & \text{rango}(M) = 3 \\ \text{Si } x = 1 & \text{rango}(M) = 2 \\ \text{Si } x = 0 & \text{rango}(M) = 1 \end{cases}}$$

**2) [1 PUNTO] Calcule la inversa de $M$ en el caso de $x = -1$.** Primero, sustituimos $x = -1$ en la matriz $M$: $$M = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante para este valor usando la fórmula obtenida anteriormente $|M| = 3x^2(1-x)$: $$|M| = 3(-1)^2(1 - (-1)) = 3(1)(2) = 6$$ Como $|M| \neq 0$, la matriz es invertible. La fórmula de la inversa es: $$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^T$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser obligatoriamente distinto de cero.

Calculamos los adjuntos de los elementos de $M$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 2 = -3$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 1) = 2$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -2 - (-1) = -1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 2) = 3$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 1 - 1 = 0$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -(2 - (-1)) = -3$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - (-1) = 0$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(1 - (-1)) = -2$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2$ La matriz adjunta es $\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} -3 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & -3 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}$. La trasponemos: $$\text{Adj}(M)^T = \begin{pmatrix} -3 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ -1 & -3 & -2 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por $|M| = 6$: $$M^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} -3 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ -1 & -3 & -2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{M^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/3 & 0 & -1/3 \\ -1/6 & -1/2 & -1/3 \end{pmatrix}}$$