Probabilidad con baraja española: Extracciones sucesivas

**a) La probabilidad de que Daniel tenga dos ases. (0.75 puntos)** Tenemos un total de 8 cartas: 4 Ases ($A$) y 4 Reyes ($R$). 1. Daniel recibe 2 cartas de las 8. 2. Olga recibe 1 carta de las 6 restantes. Primero definimos los sucesos para Daniel ($D$) según las cartas que recibe: - $D_{2A}$: Daniel recibe 2 ases. - $D_{AR}$: Daniel recibe 1 as y 1 rey. - $D_{2R}$: Daniel recibe 2 reyes. Calculamos las probabilidades de Daniel usando combinatoria (casos favorables entre casos posibles): - Casos posibles: $\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$. - $P(D_{2A}) = \frac{\binom{4}{2}}{28} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$. - $P(D_{AR}) = \frac{\binom{4}{1} \cdot \binom{4}{1}}{28} = \frac{16}{28} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$. - $P(D_{2R}) = \frac{\binom{4}{2}}{28} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$. A continuación, mostramos el árbol de probabilidad considerando también la carta que elige Olga ($O_A$ si es As, $O_R$ si es Rey): Para resolver el apartado a), ya hemos calculado la probabilidad de que Daniel tenga 2 ases: $$P(D_{2A}) = \frac{\binom{4}{2}}{\binom{8}{2}} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14} \approx 0.2143$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{P(\text{Daniel 2 ases}) = \frac{3}{14}}$$

**b) La probabilidad de que Daniel tenga un as y un rey. (0.75 puntos)** En este caso, buscamos el suceso $D_{AR}$. Para ello, Daniel debe elegir 1 as de los 4 disponibles y 1 rey de los 4 disponibles. Utilizamos de nuevo la regla de Laplace: $$P(D_{AR}) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}} = \frac{\binom{4}{1} \cdot \binom{4}{1}}{\binom{8}{2}}$$ Calculamos los valores: - Favorables: $4 \cdot 4 = 16$ - Posibles: $28$ Por tanto: $$P(D_{AR}) = \frac{16}{28} = \frac{4}{7} \approx 0.5714$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el orden en el que Daniel recibe las dos cartas no importa, por eso usamos combinaciones $\binom{n}{k}$. ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{P(\text{Daniel 1A y 1R}) = \frac{4}{7}}$$

**c) La probabilidad de que Olga tenga un as y Daniel no tenga dos reyes. (1 punto)** Nos piden la probabilidad de la intersección de dos sucesos: $P(O_A \cap \overline{D_{2R}})$. El suceso "Daniel no tiene dos reyes" ($\overline{D_{2R}}$) equivale a que Daniel tenga "2 ases" ($D_{2A}$) o "1 as y 1 rey" ($D_{AR}$). Usamos el principio de la probabilidad compuesta sumando las ramas del árbol que cumplen ambas condiciones: 1. Daniel tiene 2 ases Y Olga tiene un as: $P(D_{2A} \cap O_A)$ 2. Daniel tiene 1 as y 1 rey Y Olga tiene un as: $P(D_{AR} \cap O_A)$ Calculamos cada una: - Para $P(D_{2A} \cap O_A)$: Si Daniel tiene 2 ases, quedan 6 cartas (2 ases y 4 reyes). La probabilidad de que Olga saque un as es $2/6$. $$P(D_{2A} \cap O_A) = P(D_{2A}) \cdot P(O_A | D_{2A}) = \frac{3}{14} \cdot \frac{2}{6} = \frac{3}{14} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{14}$$ - Para $P(D_{AR} \cap O_A)$: Si Daniel tiene 1 as y 1 rey, quedan 6 cartas (3 ases y 3 reyes). La probabilidad de que Olga saque un as es $3/6$. $$P(D_{AR} \cap O_A) = P(D_{AR}) \cdot P(O_A | D_{AR}) = \frac{8}{14} \cdot \frac{3}{6} = \frac{8}{14} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{14}$$ Sumamos ambas probabilidades: $$P(O_A \cap \overline{D_{2R}}) = \frac{1}{14} + \frac{4}{14} = \frac{5}{14} \approx 0.3571$$ 💡 **Tip:** El suceso "no tener dos reyes" es el complementario de "tener dos reyes". En este ejercicio es más directo sumar las dos ramas favorables del árbol. ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{P = \frac{5}{14}}$$