Paralelismo y perpendicularidad entre recta y plano

**a) Halla el valor de $a$ para que sean paralelos. (1.5 puntos)** Primero, necesitamos determinar el vector director de la recta $r$, $\vec{d}_r$, y un punto perteneciente a ella, $P_r$. La recta viene dada como intersección de dos planos, por lo que su vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{n}_1 = (1, -1, 2), \quad \vec{n}_2 = (2, 1, -5)$$ $$\vec{d}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -5 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{d}_r = [(-1) \cdot (-5) \mathbf{i} + 2 \cdot 2 \mathbf{j} + 1 \cdot 1 \mathbf{k}] - [2 \cdot (-1) \mathbf{k} + 1 \cdot 2 \mathbf{i} + (-5) \cdot 1 \mathbf{j}]$$ $$\vec{d}_r = (5\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + \mathbf{k}) - (-2\mathbf{k} + 2\mathbf{i} - 5\mathbf{j}) = 3\mathbf{i} + 9\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por $3$: $$\vec{d}_r = (1, 3, 1)$$ Para el punto $P_r$, fijamos $z = 0$ en el sistema de la recta: $$\begin{cases} x - y = 1 \\ 2x + y = 2 \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $3x = 3 \implies x = 1$. Sustituyendo: $1 - y = 1 \implies y = 0$. $$\boxed{\vec{d}_r = (1, 3, 1), \quad P_r(1, 0, 0)}$$

Para que una recta $r$ sea paralela a un plano $\pi$, su vector director $\vec{d}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (a, -1, 1)$. Además, el punto $P_r$ no debe pertenecer al plano. La perpendicularidad implica que su producto escalar es cero: $$\vec{d}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0 \implies (1, 3, 1) \cdot (a, -1, 1) = 0$$ $$1 \cdot a + 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0 \implies a - 3 + 1 = 0 \implies a = 2$$ Comprobamos que para $a = 2$, $P_r(1, 0, 0)$ no está en $\pi$: $$2(1) - (0) + (0) + 1 = 3 \neq 0$$ Al no cumplirse la ecuación del plano, el punto no está en él y la recta es estrictamente paralela. 💡 **Tip:** Si el producto escalar es $0$ pero el punto de la recta pertenece al plano, entonces la recta está contenida en el plano, no es paralela. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2}$$

**b) Para $a = 2$, calcula la ecuación del plano $\pi'$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$. (1 punto)** El plano $\pi'$ debe cumplir dos condiciones: 1. Contener a $r$: Por tanto, contiene al punto $P_r(1, 0, 0)$ y su vector director $\vec{d}_r = (1, 3, 1)$ es paralelo al plano. 2. Ser perpendicular a $\pi$: El vector normal de $\pi$, $\vec{n}_\pi = (2, -1, 1)$, es paralelo al plano $\pi'$. El vector normal de $\pi'$, $\vec{n}_{\pi'}$, será el producto vectorial de estos dos vectores paralelos al plano: $$\vec{n}_{\pi'} = \vec{d}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicando Sarrus: $$\vec{n}_{\pi'} = [3 \cdot 1 \mathbf{i} + 1 \cdot 2 \mathbf{j} + 1 \cdot (-1) \mathbf{k}] - [2 \cdot 3 \mathbf{k} + (-1) \cdot 1 \mathbf{i} + 1 \cdot 1 \mathbf{j}]$$ $$\vec{n}_{\pi'} = (3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k}) - (6\mathbf{k} - \mathbf{i} + \mathbf{j}) = 4\mathbf{i} + \mathbf{j} - 7\mathbf{k}$$ $$\boxed{\vec{n}_{\pi'} = (4, 1, -7)}$$

Con el vector normal $(4, 1, -7)$, la ecuación del plano es de la forma: $$4x + y - 7z + D = 0$$ Imponemos que pase por el punto $P_r(1, 0, 0)$: $$4(1) + 0 - 7(0) + D = 0 \implies 4 + D = 0 \implies D = -4$$ La ecuación final del plano $\pi'$ es: $$4x + y - 7z - 4 = 0$$ 💡 **Tip:** También puedes construir el plano usando el determinante con el punto y los dos vectores directores: $$\begin{vmatrix} x-1 & y-0 & z-0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi' : 4x + y - 7z - 4 = 0}$$