Estudio completo de una función racional

**a) Estudia su dominio de definición y calcula sus asíntotas. (1 punto)** El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero: $$x - 4 = 0 \implies x = 4$$ Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los reales menos el 4. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ es $\mathbb{R} \setminus \{x \mid Q(x) = 0\}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{4\}}$$

Para buscar asíntotas verticales, analizamos el comportamiento de la función en los puntos que no pertenecen al dominio, en este caso $x=4$: $$\lim_{x \to 4} \frac{x^2}{x - 4} = \frac{16}{0} = \pm\infty$$ Calculamos los límites laterales para determinar el comportamiento: $$\lim_{x \to 4^-} \frac{x^2}{x - 4} = \frac{16}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 4^+} \frac{x^2}{x - 4} = \frac{16}{0^+} = +\infty$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe una asíntota vertical en } x = 4}$$

Para las asíntotas horizontales calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x - 4} = \pm\infty$$ Como el límite es infinito, **no existen asíntotas horizontales**. Dado que el grado del numerador (2) es exactamente una unidad mayor que el grado del denominador (1), buscamos una **asíntota oblicua** de la forma $y = mx + n$: 1. Cálculo de $m$: $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x(x - 4)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2 - 4x} = 1$$ 2. Cálculo de $n$: $$n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^2}{x - 4} - x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - x(x - 4)}{x - 4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x}{x - 4} = 4$$ 💡 **Tip:** Si al calcular $m$ obtienes un valor real distinto de cero y al calcular $n$ un valor real, la recta $y=mx+n$ es la asíntota oblicua. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Asíntota oblicua: } y = x + 4}$$

**b) Halla, si existen, los máximos, mínimos y puntos de inflexión. Intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad. (1 punto)** Calculamos la primera derivada usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2x)(x - 4) - (x^2)(1)}{(x - 4)^2} = \frac{2x^2 - 8x - x^2}{(x - 4)^2} = \frac{x^2 - 8x}{(x - 4)^2}$$ Buscamos los puntos críticos resolviendo $f'(x) = 0$: $$x^2 - 8x = 0 \implies x(x - 8) = 0 \implies x = 0, \, x = 8$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y el punto de discontinuidad ($x=4$): $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 4) & 4 & (4, 8) & 8 & (8, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ \text{Función} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - Crece en $(-\infty, 0) \cup (8, +\infty)$ - Decrece en $(0, 4) \cup (4, 8)$ Calculamos las ordenadas de los extremos: $f(0) = \frac{0^2}{0 - 4} = 0 \implies \text{Máximo en } (0, 0)$ $f(8) = \frac{8^2}{8 - 4} = \frac{64}{4} = 16 \implies \text{Mínimo en } (8, 16)$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máx}(0,0), \, \text{Mín}(8,16). \text{ Crece: } (-\infty,0)\cup(8,\infty). \text{ Decrece: } (0,4)\cup(4,8)}$$

Calculamos la segunda derivada partiendo de $f'(x) = \frac{x^2 - 8x}{(x - 4)^2}$: $$f''(x) = \frac{(2x - 8)(x - 4)^2 - (x^2 - 8x) \cdot 2(x - 4)}{(x - 4)^4}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $(x - 4)$: $$f''(x) = \frac{(2x - 8)(x - 4) - 2(x^2 - 8x)}{(x - 4)^3} = \frac{2x^2 - 8x - 8x + 32 - 2x^2 + 16x}{(x - 4)^3} = \frac{32}{(x - 4)^3}$$ Como $f''(x) = \frac{32}{(x - 4)^3}$ nunca es cero (el numerador es constante), **no existen puntos de inflexión**. Estudiamos el signo de $f''(x)$ alrededor del punto de discontinuidad $x=4$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 4) & 4 & (4, +\infty) \\ \hline f''(x) & - & \nexists & + \\ \text{Curvatura} & \text{Cóncava} & \nexists & \text{Convexa} \end{array}$$ - Cóncava (hacia abajo, $\cap$): $(-\infty, 4)$ - Convexa (hacia arriba, $\cup$): $(4, +\infty)$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No hay P.I. Cóncava: } (-\infty, 4). \text{ Convexa: } (4, +\infty)}$$

**c) Haz un esbozo de su gráfica. (0.5 puntos)** Para el esbozo, situamos: 1. Las asíntotas: la vertical $x=4$ y la oblicua $y=x+4$. 2. Los puntos singulares: el máximo en $(0,0)$ y el mínimo en $(8,16)$. 3. Unimos los puntos respetando la monotonía, la curvatura y las tendencias hacia las asíntotas.