Invertibilidad, matriz inversa y propiedades del determinante

**a) Los valores de $x$ para los que la matriz $A$ posea inversa. (1 punto)** Una matriz cuadrada $A$ posee inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por tanto, el primer paso es calcular el determinante de la matriz $A$ en función del parámetro $x$. Calculamos $|A|$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & x & 3 \\ 4 & 1 & -x \end{vmatrix} = [1 \cdot x \cdot (-x) + 0 \cdot 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 0 \cdot 1] - [(-1) \cdot x \cdot 4 + 1 \cdot 3 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot (-x)]$$ Operamos cada término: $$|A| = [-x^2 + 0 + 0] - [-4x + 3 + 0] = -x^2 + 4x - 3.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista $A^{-1}$, el rango de la matriz debe ser máximo, lo cual equivale a $|A| \neq 0$.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-x^2 + 4x - 3 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para facilitar el cálculo: $x^2 - 4x + 3 = 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: $x_1 = \frac{4+2}{2} = 3$ $x_2 = \frac{4-2}{2} = 1$ La matriz poseerá inversa para todos los valores de $x$ excepto para $1$ y $3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \text{ posee inversa } \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{1, 3\}}$$

**b) La inversa de $A$ para $x = 2$. (1 punto)** Primero, sustituimos $x=2$ en la expresión del determinante que obtuvimos en el apartado anterior: $$|A| = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1.$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz es inversible. La matriz para $x=2$ es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ Utilizaremos la fórmula: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} [\text{Adj}(A)]^t$. 💡 **Tip:** En este caso, al ser $|A|=1$, la inversa coincidirá directamente con la traspuesta de la matriz de adjuntos.

Calculamos los adjuntos de cada elemento $A_{ij}$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -4 - 3 = -7$ $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = -(0 - 12) = 12$ $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 8 = -8$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(0 - (-1)) = -1$ $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = -2 - (-4) = 2$ $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 0) = -1$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 0 - (-2) = 2$ $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - 0) = -3$ $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 0 = 2$ La matriz de adjuntos es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -7 & 12 & -8 \\ -1 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & 2 \end{pmatrix}$$

Calculamos la traspuesta de la matriz de adjuntos: $$[\text{Adj}(A)]^t = \begin{pmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 1$, la inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{pmatrix}}$$

**c) Con $x = 5$, el valor de $b \in \mathbb{R}$ para que la matriz $b \cdot A$ tenga determinante 1. (0.5 puntos)** Primero, calculamos el determinante de $A$ para $x=5$: $$|A| = -(5)^2 + 4(5) - 3 = -25 + 20 - 3 = -8.$$ Usamos la propiedad de los determinantes: si $M$ es una matriz de orden $n \times n$ y $k$ es un escalar, entonces $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$. En este caso, $A$ es una matriz de orden $3 \times 3$, por lo que: $$|b \cdot A| = b^3 \cdot |A|$$ Queremos que $|b \cdot A| = 1$, así que planteamos la ecuación: $$b^3 \cdot (-8) = 1 \implies b^3 = -\frac{1}{8}$$ Resolvemos para $b$: $$b = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** No olvides elevar el escalar al orden de la matriz (en este caso, al cubo porque la matriz es $3 \times 3$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{b = -\frac{1}{2}}$$