Probabilidad de curación y teorema de Bayes

**a) Calcula la probabilidad de que se cure de la enfermedad. (1.25 puntos)** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $H$: El paciente es hombre. - $M$: El paciente es mujer. - $C$: El paciente se cura. - $\bar{C}$: El paciente no se cura. Extraemos los datos del enunciado: - $P(H) = 0.60$ - $P(M) = 1 - 0.60 = 0.40$ - Probabilidad de cura en hombres: $P(C|H) = 0.70 \implies P(\bar{C}|H) = 0.30$ - Probabilidad de cura en mujeres: $P(C|M) = 0.80 \implies P(\bar{C}|M) = 0.20$ Representamos la situación mediante un **diagrama de árbol**:

Para calcular la probabilidad de que un paciente elegido al azar se cure, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. La probabilidad de curarse se obtiene sumando las probabilidades de curarse siendo hombre y de curarse siendo mujer: $$P(C) = P(H) \cdot P(C|H) + P(M) \cdot P(C|M)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(C) = 0.6 \cdot 0.7 + 0.4 \cdot 0.8$$ $$P(C) = 0.42 + 0.32 = 0.74$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de todas las probabilidades que salen de un mismo nodo siempre debe ser igual a 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C) = 0.74}$$

**b) Si un paciente no se ha curado, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? (1.25 puntos)** Se nos pide calcular la probabilidad de que sea mujer dado que sabemos que no se ha curado, es decir, $P(M|\bar{C})$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(M|\bar{C}) = \frac{P(M \cap \bar{C})}{P(\bar{C})}$$ Primero calculamos el denominador, la probabilidad de no curarse $P(\bar{C})$, que es el suceso contrario a curarse: $$P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0.74 = 0.26$$ Ahora calculamos el numerador (probabilidad de que sea mujer y no se cure): $$P(M \cap \bar{C}) = P(M) \cdot P(\bar{C}|M) = 0.4 \cdot 0.2 = 0.08$$ Finalmente, calculamos la probabilidad condicionada: $$P(M|\bar{C}) = \frac{0.08}{0.26} = \frac{8}{26} = \frac{4}{13} \approx 0.3077$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza para calcular probabilidades "a posteriori", es decir, cuando ya conocemos el resultado final (no se ha curado) y queremos saber la causa (es mujer). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|\bar{C}) = \frac{4}{13} \approx 0.3077}$$