Geometría en el espacio: Ecuaciones de planos y distancias

**a) La ecuación del plano $\pi$ sabiendo que $P(0, 0, -2)$ pertenece a la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por el punto $A$. (1 punto)** Si el punto $P$ pertenece a la recta perpendicular al plano que pasa por $A$, el vector que une ambos puntos, $\vec{PA}$, será precisamente el vector normal al plano $\pi$, ya que dicha recta lleva la dirección del vector normal. Calculamos las coordenadas del vector normal $\vec{n_\pi}$: $$\vec{n_\pi} = \vec{PA} = A - P = (1 - 0, 2 - 0, 0 - (-2)) = (1, 2, 2)$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano es perpendicular a cualquier recta contenida en él y paralelo a cualquier recta perpendicular al mismo.

Con el vector normal $\vec{n_\pi} = (1, 2, 2)$, la ecuación del plano $\pi$ tiene la forma: $$1x + 2y + 2z + D = 0$$ Como sabemos que el punto $A(1, 2, 0)$ pertenece al plano, sustituimos sus coordenadas en la ecuación para hallar $D$: $$1(1) + 2(2) + 2(0) + D = 0 \implies 1 + 4 + 0 + D = 0 \implies D = -5$$ Sustituimos $D$ en la ecuación general: ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\pi : x + 2y + 2z - 5 = 0}$$

**b) La ecuación de un plano paralelo a $\pi$ y que esté a distancia 3 unidades del mismo. (1 punto)** Dos planos son paralelos si tienen el mismo vector normal (o uno proporcional). Por tanto, la ecuación de un plano $\pi_2$ paralelo a $\pi$ será de la forma: $$\pi_2 : x + 2y + 2z + k = 0$$ La distancia entre dos planos paralelos $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ y $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ viene dada por la fórmula: $$d(\pi, \pi_2) = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En este caso, queremos que la distancia sea 3, con $D_1 = -5$ y $D_2 = k$: $$3 = \frac{|k - (-5)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|k + 5|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|k + 5|}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si los coeficientes $A, B, C$ son idénticos, la distancia depende solo de la diferencia de los términos independientes.

Despejamos el valor absoluto: $$|k + 5| = 3 \cdot 3 = 9$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $k + 5 = 9 \implies k = 4$ 2. $k + 5 = -9 \implies k = -14$ El enunciado pide "la ecuación de un plano", por lo que podemos dar cualquiera de las dos soluciones válidas. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\pi_2 : x + 2y + 2z + 4 = 0 \quad \text{o} \quad \pi_2 : x + 2y + 2z - 14 = 0}$$

**c) Un punto $B$ perteneciente a $\pi$ y al plano $\pi' : 2x - y = 0$ y que está a distancia $\sqrt{45}$ de $A$. (Observación: $A \in \pi'$) (0.5 puntos)** El punto $B(x, y, z)$ debe cumplir las ecuaciones de ambos planos: 1. $x + 2y + 2z - 5 = 0$ (pertenece a $\pi$) 2. $2x - y = 0 \implies y = 2x$ (pertenece a $\pi'$) Sustituimos $y = 2x$ en la primera ecuación para expresar $z$ en función de $x$: $$x + 2(2x) + 2z - 5 = 0 \implies x + 4x + 2z - 5 = 0 \implies 5x + 2z - 5 = 0$$ $$2z = 5 - 5x \implies z = \frac{5}{2}(1 - x)$$ Por tanto, cualquier punto $B$ en la recta intersección tiene la forma: $$B\left(x, 2x, \frac{5}{2}(1 - x)\right)$$

La distancia entre $A(1, 2, 0)$ y $B$ debe ser $\sqrt{45}$. Usamos la fórmula de la distancia entre dos puntos: $$d(A, B) = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 0)^2} = \sqrt{45}$$ Elevamos al cuadrado y sustituimos las expresiones de $y$ y $z$: $$(x - 1)^2 + (2x - 2)^2 + \left(\frac{5}{2}(1 - x)\right)^2 = 45$$ Observamos que $(2x - 2) = 2(x - 1)$ y $(1 - x) = -(x - 1)$: $$(x - 1)^2 + 4(x - 1)^2 + \frac{25}{4}(x - 1)^2 = 45$$ $$5(x - 1)^2 + \frac{25}{4}(x - 1)^2 = 45$$ Multiplicamos todo por 4 para quitar denominadores: $$20(x - 1)^2 + 25(x - 1)^2 = 180 \implies 45(x - 1)^2 = 180$$ $$(x - 1)^2 = \frac{180}{45} = 4 \implies x - 1 = \pm 2$$ Obtenemos dos valores para $x$: - Si $x - 1 = 2 \implies x = 3$. Entonces $y = 2(3) = 6$ y $z = \frac{5}{2}(1 - 3) = -5$. - Si $x - 1 = -2 \implies x = -1$. Entonces $y = 2(-1) = -2$ y $z = \frac{5}{2}(1 - (-1)) = 5$. ✅ **Resultado (apartado c):** $$\boxed{B_1(3, 6, -5) \quad \text{y} \quad B_2(-1, -2, 5)}$$