Áreas integrales y optimización

**a) Halla, en función de $m$, el área de cada una de las partes sombreadas $A$ y $B$. (1.5 puntos)** Observando la gráfica y el enunciado, las áreas $A$ y $B$ están delimitadas por la parábola $f(x) = 3x^2$ y la recta horizontal que pasa por el punto $(m, f(m))$, es decir, la recta $y = 3m^2$. Para el **área $A$**, el intervalo de integración es $[1, m]$. En este intervalo, como la función es creciente, la recta $y = 3m^2$ está por encima de la curva $y = 3x^2$. $$A(m) = \int_{1}^{m} (3m^2 - 3x^2) \, dx$$ Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow: $$A(m) = \left[ 3m^2x - x^3 \right]_{1}^{m} = (3m^2(m) - m^3) - (3m^2(1) - 1^3)$$ $$A(m) = (3m^3 - m^3) - (3m^2 - 1) = 2m^3 - 3m^2 + 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en $[a, b]$ es $\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$. Aquí, en el intervalo $[1, m]$, se cumple $3m^2 \ge 3x^2$. ✅ **Resultado área A:** $$\boxed{A(m) = 2m^3 - 3m^2 + 1}$$

Para el **área $B$**, el intervalo de integración es $[m, 2]$. En este tramo, la curva $y = 3x^2$ está por encima de la recta $y = 3m^2$. $$B(m) = \int_{m}^{2} (3x^2 - 3m^2) \, dx$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$B(m) = \left[ x^3 - 3m^2x \right]_{m}^{2} = (2^3 - 3m^2(2)) - (m^3 - 3m^2(m))$$ $$B(m) = (8 - 6m^2) - (m^3 - 3m^3) = 8 - 6m^2 - (-2m^3)$$ $$B(m) = 2m^3 - 6m^2 + 8$$ ✅ **Resultado área B:** $$\boxed{B(m) = 2m^3 - 6m^2 + 8}$$

**b) ¿Cuál es el valor de $m$ que hace mínima la suma de esas áreas? (1 punto)** Definimos la función $S(m)$ como la suma de las áreas $A$ y $B$ halladas en el apartado anterior: $$S(m) = A(m) + B(m)$$ $$S(m) = (2m^3 - 3m^2 + 1) + (2m^3 - 6m^2 + 8)$$ $$S(m) = 4m^3 - 9m^2 + 9$$ El dominio de esta función es el intervalo dado en el enunciado: $m \in [1, 2]$. Para minimizar la función, calculamos su derivada primera $S'(m)$ e igualamos a cero. $$S'(m) = 12m^2 - 18m$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$12m^2 - 18m = 0 \implies 6m(2m - 3) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $6m = 0 \implies m = 0$ (No pertenece al intervalo $[1, 2]$). 2. $2m - 3 = 0 \implies m = \frac{3}{2} = 1.5$ (Sí pertenece al intervalo). 💡 **Tip:** Un punto crítico es aquel donde la derivada es cero o no existe. En optimización, estos son los candidatos a máximos o mínimos.

Para verificar si en $m = 1.5$ hay un mínimo, estudiamos el signo de $S'(m)$ en el intervalo $[1, 2]$ o usamos la segunda derivada. Calculamos $S''(m)$: $$S''(m) = 24m - 18$$ Evaluamos en el punto crítico $m = 1.5$: $$S''(1.5) = 24(1.5) - 18 = 36 - 18 = 18 > 0$$ Como la segunda derivada es positiva, se confirma que hay un **mínimo relativo** en $m = 1.5$. **Tabla de monotonía para $S(m)$ en $[1, 2]$:** $$\begin{array}{c|ccc} m & (1, 1.5) & 1.5 & (1.5, 2)\\ \hline S'(m) & - & 0 & +\\ \hline S(m) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ Como la función decrece hasta $1.5$ y luego crece, el mínimo absoluto en el intervalo $[1, 2]$ se alcanza precisamente en $m = 1.5$. ✅ **Resultado final:** El valor de $m$ que hace mínima la suma de las áreas es: $$\boxed{m = 1.5}$$