Discusión y resolución de un sistema con tres ecuaciones y dos incógnitas

**1. Determina los valores de $a$ para los que el sistema de ecuaciones tiene solución. Calcula las soluciones en los casos posibles. (2.5 puntos)** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & a \\ 5 & 3a-1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & a & 2 \\ 5 & 3a-1 & 6-a \end{pmatrix}$$ Se trata de un sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas ($n=2$). Para que el sistema tenga solución, según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el rango de la matriz de coeficientes debe ser igual al rango de la matriz ampliada ($rg(A) = rg(A^*)$). 💡 **Tip:** En sistemas donde hay más ecuaciones que incógnitas, un buen punto de partida es estudiar el determinante de la matriz ampliada $A^*$ (si es cuadrada) para ver cuándo las ecuaciones son dependientes.

Como $A^*$ es una matriz $3 \times 3$, calculamos su determinante para analizar su rango: $$|A^*| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & a & 2 \\ 5 & 3a-1 & 6-a \end{vmatrix}$$ Podemos simplificar el cálculo observando que la primera y la tercera columna son parecidas. Aplicamos la propiedad de los determinantes restando la primera columna a la tercera ($C_3 \to C_3 - C_1$): $$|A^*| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & a & 0 \\ 5 & 3a-1 & 1-a \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera columna: $$|A^*| = (1-a) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & a \end{vmatrix} = (1-a)(a-2) = -a^2 + 3a - 2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-a^2 + 3a - 2 = 0 \implies a^2 - 3a + 2 = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \implies \begin{cases} a = 1 \\ a = 2 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz ampliada es distinto de cero, el rango de $A^*$ será 3, y como el rango de $A$ solo puede ser como máximo 2, el sistema será incompatible.

Analizamos los casos según el valor del parámetro $a$ aplicando el **Teorema de Rouché-Capelli**: * **Caso 1: $a \neq 1$ y $a \neq 2$** En este caso, $|A^*| \neq 0$, por lo que $rg(A^*) = 3$. Como $rg(A) \le 2$ (solo tiene 2 columnas), entonces $rg(A) \neq rg(A^*)$. El sistema es **Incompatible** (no tiene solución). * **Caso 2: $a = 1$** La matriz ampliada es $A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & 5 \end{pmatrix}$. El determinante $|A^*| = 0$, por lo que $rg(A^*) \lt 3$. Buscamos el rango de $A$: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0$. Por tanto, $rg(A) = 2$. Como $rg(A) = rg(A^*) = 2$ (igual al número de incógnitas), el sistema es **Compatible Determinado** (tiene solución única). * **Caso 3: $a = 2$** La matriz de coeficientes es $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}$. Todas las filas son proporcionales, por lo que $rg(A) = 1$. La matriz ampliada es $A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 5 & 5 & 4 \end{pmatrix}$. Tomamos un menor de orden 2 en $A^*$: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 5 = -1 \neq 0$. Por tanto, $rg(A^*) = 2$. Como $rg(A) = 1 \neq rg(A^*) = 2$, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema tiene solución solo si } a = 1}$$

Para **$a = 1$**, el sistema es compatible determinado. Utilizamos las dos primeras ecuaciones, ya que el menor de orden 2 que nos dio el rango estaba en las filas 1 y 2: $$\begin{cases} x + y = 1 \\ 2x + y = 2 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda ($E_2 - E_1$): $$(2x + y) - (x + y) = 2 - 1 \implies x = 1$$ Sustituimos el valor de $x$ en la primera ecuación: $$1 + y = 1 \implies y = 0$$ Comprobamos en la tercera ecuación original ($5x + (3(1)-1)y = 6-1 \implies 5x + 2y = 5$): $$5(1) + 2(0) = 5 \implies 5 = 5 \quad \text{(Correcto)}$$ ✅ **Solución final:** $$\boxed{x = 1, \quad y = 0}$$