Probabilidad de reparto de productos en una asociación

En primer lugar, definimos los sucesos principales a partir del enunciado: - $H$: La persona coge harina. - $L$: La persona coge leche. Datos proporcionados: - $P(H) = 0,70$ - $P(H \cap L) = 0,40$ (cogen los dos productos) El enunciado indica que todas las personas cogen dos unidades. Esto implica que no hay nadie que no coja nada, por lo que $P(H \cup L) = 1$. A partir de esto, podemos construir una **tabla de contingencia** para visualizar todas las probabilidades: $$\begin{array}{c|cc|c} & L & \bar{L} & \text{Total} \\\hline H & 0,40 & 0,30 & 0,70 \\ \bar{H} & 0,30 & 0 & 0,30 \\\hline \text{Total} & 0,70 & 0,30 & 1,00 \end{array}$$ Explicación de los valores calculados: - $P(H \cap \bar{L}) = P(H) - P(H \cap L) = 0,70 - 0,40 = 0,30$. - Como $P(H \cup L) = 1$, entonces $P(\bar{H} \cap \bar{L}) = 0$ (nadie se va sin nada). - $P(\bar{H}) = 1 - P(H) = 0,30$. Como $P(\bar{H} \cap \bar{L}) = 0$, entonces $P(\bar{H} \cap L) = 0,30$.

**a) La probabilidad de que una persona que entre coja leche. (1 punto)** Para calcular la probabilidad de que una persona coja leche, sumamos las probabilidades de que coja leche y harina, y de que coja leche y no harina (solo leche). Según nuestra tabla o la ley de la probabilidad total: $$P(L) = P(L \cap H) + P(L \cap \bar{H})$$ $$P(L) = 0,40 + 0,30 = 0,70$$ Alternativamente, usando la fórmula de la unión: $$P(H \cup L) = P(H) + P(L) - P(H \cap L)$$ $$1 = 0,70 + P(L) - 0,40 \implies 1 = 0,30 + P(L) \implies P(L) = 0,70$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de una fila o columna debe dar el total marginal correspondiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L) = 0,70}$$

**b) La probabilidad de que una persona que entre coja un solo tipo de producto. (0.5 puntos)** Coger un solo tipo de producto significa que la persona coge harina pero no leche, o leche pero no harina. Estos son sucesos incompatibles. $$P(\text{un solo tipo}) = P(H \cap \bar{L}) + P(\bar{H} \cap L)$$ Utilizamos los valores obtenidos en el paso 1: - $P(H \cap \bar{L}) = 0,30$ (Solo harina) - $P(\bar{H} \cap L) = 0,30$ (Solo leche) Calculamos la suma: $$P(\text{un solo tipo}) = 0,30 + 0,30 = 0,60$$ 💡 **Tip:** El suceso "un solo tipo" es el complementario de "los dos productos" y "ningún producto". En este caso, como nadie coge cero productos, es simplemente $1 - P(H \cap L) = 1 - 0,4 = 0,6$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{un solo tipo}) = 0,60}$$

**c) Una persona que sale de la asociación lleva leche. ¿Cuál es la probabilidad de que haya cogido también harina? (1 punto)** Se nos pide la probabilidad de que haya cogido harina sabiendo que lleva leche. Esto es una **probabilidad condicionada**: $P(H | L)$. Utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(H | L) = \frac{P(H \cap L)}{P(L)}$$ Sustituimos los valores calculados anteriormente: - $P(H \cap L) = 0,40$ - $P(L) = 0,70$ $$P(H | L) = \frac{0,40}{0,70} = \frac{4}{7} \approx 0,5714$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la probabilidad condicionada es $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. No la confundas con $P(B|A)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H | L) = \frac{4}{7} \approx 0,5714}$$