Geometría en el espacio: Coplanaridad, rectas y planos

**a) Si los cuatro puntos son coplanarios. (0.75 puntos)** Para comprobar si cuatro puntos son coplanarios, primero calculamos tres vectores que partan de uno de ellos (por ejemplo, el punto $A$) hacia los otros tres. Si estos tres vectores son linealmente dependientes (su producto mixto es cero), entonces los puntos pertenecen al mismo plano. Calculamos los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$: $$\vec{AB} = B - A = (-1 - 1, 1 - 2, 1 - 0) = (-2, -1, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - 1, 0 - 2, 1 - 0) = (-1, -2, 1)$$ $$\vec{AD} = D - A = (4 - 1, 1 - 2, 3 - 0) = (3, -1, 3)$$ 💡 **Tip:** Tres vectores son coplanarios si el determinante formado por sus componentes es igual a $0$.

Calculamos el determinante formado por los tres vectores mediante la regla de Sarrus: $$\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} -2 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$= [(-2) \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) \cdot (-1)] - [3 \cdot (-2) \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) \cdot (-2) + 3 \cdot 1 \cdot (-1)]$$ $$= [12 - 3 + 1] - [-6 - 2 - 3] = 10 - (-11) = 21$$ Como el determinante es **$21 \neq 0$**, los vectores son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los cuatro puntos no son coplanarios}}$$

**b) La recta $r$ que pasa por $D$ y es perpendicular al plano $\pi$ que contiene los puntos $A, B, C$. (1 punto)** Si la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$, su vector director $\vec{v_r}$ debe ser el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. El vector normal se obtiene mediante el producto vectorial de dos vectores contenidos en el plano, como $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. $$\vec{n_\pi} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos las componentes: - Componente $\vec{i}: (-1) \cdot 1 - 1 \cdot (-2) = -1 + 2 = 1$ - Componente $\vec{j}: -[(-2) \cdot 1 - 1 \cdot (-1)] = -[-2 + 1] = 1$ - Componente $\vec{k}: (-2) \cdot (-2) - (-1) \cdot (-1) = 4 - 1 = 3$ Por tanto, el vector normal es **$\vec{n_\pi} = (1, 1, 3)$**. 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos.

Utilizamos el punto $D(4, 1, 3)$ y el vector director $\vec{v_r} = \vec{n_\pi} = (1, 1, 3)$ para escribir la ecuación de la recta $r$. La forma más sencilla para trabajar posteriormente es la forma paramétrica: $$r: \begin{cases} x = 4 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 3 + 3\lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: (x, y, z) = (4, 1, 3) + \lambda(1, 1, 3)}$$

**c) El punto de corte de la recta $r$ con el plano $\pi$. (0.75 puntos)** Para hallar el punto de corte, primero necesitamos la ecuación del plano $\pi$. Usamos el vector normal $\vec{n_\pi} = (1, 1, 3)$ y el punto $A(1, 2, 0)$: $$1(x - 1) + 1(y - 2) + 3(z - 0) = 0$$ $$x - 1 + y - 2 + 3z = 0$$ $$\pi: x + y + 3z - 3 = 0$$ 💡 **Tip:** La ecuación de un plano con normal $(A, B, C)$ es $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.

Sustituimos las expresiones de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi$ para hallar el valor del parámetro $\lambda$: $$(4 + \lambda) + (1 + \lambda) + 3(3 + 3\lambda) - 3 = 0$$ $$4 + \lambda + 1 + \lambda + 9 + 9\lambda - 3 = 0$$ $$11\lambda + 11 = 0 \implies 11\lambda = -11 \implies \lambda = -1$$ Ahora, sustituimos $\lambda = -1$ en las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ para obtener el punto $P$: $$x = 4 + (-1) = 3$$ $$y = 1 + (-1) = 0$$ $$z = 3 + 3(-1) = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(3, 0, 0)}$$