Optimización de un triángulo bajo una parábola

**a) Calcula los valores de $a, b$ y $c$. (1 punto)** Disponemos de una función cuadrática $f(x) = a + bx + cx^2$ y su derivada $f'(x) = b + 2cx$. Debemos aplicar las condiciones dadas en el enunciado: 1. **El punto $P(0, 1)$ pertenece a la gráfica:** Esto significa que $f(0) = 1$. $$f(0) = a + b(0) + c(0)^2 = 1 \implies a = 1$$ 2. **La tangente en $P(0, 1)$ es paralela al eje $OX$:** La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en dicho punto. Si es paralela al eje $OX$, su pendiente es $0$, por lo que $f'(0) = 0$. $$f'(0) = b + 2c(0) = 0 \implies b = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta tangente es horizontal (paralela al eje de abscisas), su pendiente es nula: $f'(x_0) = 0$.

3. **El punto $Q(2, 0)$ pertenece a la gráfica:** Esto implica que $f(2) = 0$. Sustituimos los valores ya conocidos ($a=1, b=0$) en la ecuación de la función: $$f(2) = 1 + 0(2) + c(2)^2 = 0$$ $$1 + 4c = 0 \implies 4c = -1 \implies c = -\frac{1}{4}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 1, \quad b = 0, \quad c = -\frac{1}{4}}$$

**b) Con $a = 1, b = 0$ y $c = -1/4$ y siendo $A(m, n)$ un punto perteneciente a ese arco. Determina los valores de $m$ y $n$ para que el área del triángulo rectángulo $ABC$ sea máxima. (1.5 puntos)** La función es $y = 1 - \frac{1}{4}x^2$. El punto $A(m, n)$ pertenece al arco, por lo que su ordenada es $n = 1 - \frac{1}{4}m^2$. Según la geometría descrita (triángulo rectángulo con vértices en el origen $C(0,0)$, en el eje $X$ como $B(m,0)$ y el punto $A(m,n)$ en la curva): - La **base** del triángulo es la distancia de $C$ a $B$, que es $m$. - La **altura** es la ordenada del punto $A$, que es $n$. La función área $S$ es: $$S(m) = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} = \frac{m \cdot n}{2}$$ Sustituimos $n$ en función de $m$ ($0 \le m \le 2$): $$S(m) = \frac{1}{2} m \left( 1 - \frac{1}{4}m^2 \right) = \frac{1}{2}m - \frac{1}{8}m^3$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso es siempre expresar la magnitud a maximizar/minimizar como función de una sola variable.

Para maximizar el área, calculamos la derivada de $S(m)$ e igualamos a cero: $$S'(m) = \frac{1}{2} - \frac{3}{8}m^2$$ Buscamos los puntos críticos: $$\frac{1}{2} - \frac{3}{8}m^2 = 0 \implies \frac{3}{8}m^2 = \frac{1}{2}$$ $$3m^2 = 4 \implies m^2 = \frac{4}{3} \implies m = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$ (Tomamos solo el valor positivo ya que $m$ representa una distancia en el primer cuadrante, $0 \le m \le 2$). 💡 **Tip:** $\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.155$, que está dentro del intervalo $[0, 2]$.

Para comprobar que es un máximo, usamos la segunda derivada: $$S''(m) = -\frac{6}{8}m = -\frac{3}{4}m$$ Evaluamos en el punto crítico: $$S''\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{3}{4} \left( \frac{2\sqrt{3}}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \lt 0$$ Al ser la segunda derivada negativa, confirmamos que en $m = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ hay un **máximo relativo**. Calculamos ahora el valor de $n$: $$n = 1 - \frac{1}{4}m^2 = 1 - \frac{1}{4}\left(\frac{4}{3}\right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{m = \frac{2\sqrt{3}}{3}, \quad n = \frac{2}{3}}$$