Invertibilidad de productos de matrices y parámetros

**a) Estudia, en función de los valores reales de $k$, si la matriz $B \cdot A$ tiene inversa. Calcúlala, si es posible, para $k = 1$. (1.5 puntos)** Primero, calculamos el producto $B \cdot A$. La matriz $B$ es de dimensión $2 \times 3$ y $A$ es de $3 \times 2$, por lo que el resultado será una matriz $2 \times 2$: $$B \cdot A = \begin{pmatrix} k & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k(1)+0(2)+(-1)(0) & k(0)+0(k)+(-1)(1) \\ 1(1)+1(2)+2(0) & 1(0)+1(k)+2(1) \end{pmatrix}$$ Realizando las operaciones: $$\boxed{B \cdot A = \begin{pmatrix} k & -1 \\ 3 & k+2 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda. El elemento $c_{ij}$ es el producto escalar de la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda.

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $B \cdot A$: $$\det(B \cdot A) = \begin{vmatrix} k & -1 \\ 3 & k+2 \end{vmatrix} = k(k+2) - (-1)(3) = k^2 + 2k + 3$$ Para ver cuándo es cero, resolvemos la ecuación de segundo grado $k^2 + 2k + 3 = 0$: $$k = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2}$$ Como el discriminante es negativo ($-8 \lt 0$), no existen raíces reales. Esto significa que el determinante nunca se anula para ningún valor real de $k$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } B \cdot A \text{ tiene inversa para cualquier valor de } k \in \mathbb{R}}$$

Para $k = 1$, sustituimos en la matriz y el determinante obtenidos anteriormente: $$B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}, \quad \det(B \cdot A) = 1^2 + 2(1) + 3 = 6$$ La fórmula de la matriz inversa es $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^T$. 1. Matriz de adjuntos: $$Adj(B \cdot A) = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Transpuesta de la matriz de adjuntos: $$Adj(B \cdot A)^T = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Inversa: $$(B \cdot A)^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/6 \\ -1/2 & 1/6 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado para k = 1:** $$\boxed{(B \cdot A)^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/6 \\ -1/2 & 1/6 \end{pmatrix}}$$

**b) Estudia, en función de los valores reales de $k$, si la matriz $A \cdot B$ posee inversa. (1 punto)** Analizamos las dimensiones de las matrices: $A$ es $3 \times 2$ y $B$ es $2 \times 3$. Por tanto, el producto $A \cdot B$ es una matriz cuadrada de orden $3 \times 3$. Utilizamos la propiedad del rango: $\text{rg}(M \cdot N) \le \min(\text{rg}(M), \text{rg}(N))$. - La matriz $A$ tiene dimensión $3 \times 2$, por lo que su rango máximo es 2. - La matriz $B$ tiene dimensión $2 \times 3$, por lo que su rango máximo es 2. En consecuencia: $$\text{rg}(A \cdot B) \le \min(\text{rg}(A), \text{rg}(B)) \le 2$$ Dado que $A \cdot B$ es una matriz de tamaño $3 \times 3$ pero su rango es como máximo 2, su determinante será siempre cero para cualquier valor de $k$ (las columnas/filas son linealmente dependientes). 💡 **Tip:** Si el rango de una matriz cuadrada de orden $n$ es menor que $n$, su determinante es cero y, por tanto, no es invertible. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } A \cdot B \text{ no tiene inversa para ningún valor real de } k}$$