Probabilidad total y Teorema de Bayes en urnas

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una bola con el número 1? (1.25 puntos)** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el experimento: - $A$: Elegir la urna A. - $B$: Elegir la urna B. - $N_1$: Extraer una bola con el número 1. - $\bar{N_1}$: Extraer una bola con un número distinto de 1. Como la urna se elige al azar, tenemos: $$P(A) = \frac{1}{2}, \quad P(B) = \frac{1}{2}$$ Para las probabilidades condicionadas (probabilidad de sacar el 1 sabiendo la urna elegida): - En la urna A hay 3 bolas $\{1, 2, 3\}$, por lo que $P(N_1 | A) = \frac{1}{3}$. - En la urna B hay 6 bolas $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, por lo que $P(N_1 | B) = \frac{1}{6}$. Representamos la situación en un diagrama de árbol:

Para calcular la probabilidad de obtener el número 1, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de obtener el 1 a través de cada urna: $$P(N_1) = P(A) \cdot P(N_1 | A) + P(B) \cdot P(N_1 | B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(N_1) = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \right)$$ $$P(N_1) = \frac{1}{6} + \frac{1}{12}$$ Para sumar las fracciones, buscamos denominador común (12): $$P(N_1) = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que llevan al suceso deseado te da la probabilidad total. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N_1) = 0.25}$$

**b) Si extraída la bola resulta tener el número 1, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna A? (1.25 puntos)** En este apartado nos piden una probabilidad condicionada inversa: conocemos el resultado final (ha salido el 1) y queremos saber la probabilidad de que la causa fuera la urna A. Para ello utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A | N_1) = \frac{P(A) \cdot P(N_1 | A)}{P(N_1)}$$ Ya conocemos todos los datos necesarios: - $P(A) \cdot P(N_1 | A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ - $P(N_1) = \frac{1}{4}$ (calculado en el apartado anterior) Sustituimos: $$P(A | N_1) = \frac{1/6}{1/4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para "volver atrás" en el árbol, relacionando la probabilidad de una rama inicial dado un resultado final. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A | N_1) = \frac{2}{3} \approx 0.6667}$$