Vectores directores, ángulo entre rectas y plano paralelo

**a) Un vector director de cada recta. (0.75 puntos)** La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos (forma implícita): $$r : \begin{cases} x + 2y + 1 = 0 \\ z - 1 = 0 \end{cases}$$ Para hallar su vector director $\vec{v}_r$, realizamos el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos que la definen, $\vec{n}_1 = (1, 2, 0)$ y $\vec{n}_2 = (0, 0, 1)$: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus o por adjuntos de la primera fila: $$\vec{v}_r = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 2 \cdot 0) = 2\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 0\mathbf{k}$$ Por tanto: $$\boxed{\vec{v}_r = (2, -1, 0)}$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos es perpendicular a los vectores normales de dichos planos.

La recta $s$ viene dada en forma continua: $$s : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 0}{1}$$ En esta forma, los denominadores corresponden directamente a las componentes del vector director $\vec{v}_s$. $$\boxed{\vec{v}_s = (1, 2, 1)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la forma continua de una recta es $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, donde $(v_1, v_2, v_3)$ es el vector director.

**b) El ángulo que forman las rectas. (0.75 puntos)** El ángulo $\alpha$ que forman las rectas $r$ y $s$ es el ángulo que forman sus vectores directores. Utilizamos la fórmula del producto escalar: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{v}_s|}$$ Primero calculamos el producto escalar: $$\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s = (2, -1, 0) \cdot (1, 2, 1) = 2(1) + (-1)(2) + 0(1) = 2 - 2 + 0 = 0$$ Como el producto escalar es cero, los vectores son perpendiculares: $$\cos \alpha = 0 \implies \alpha = 90^\circ$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 90^\circ \text{ (o } \pi/2 \text{ rad)}}$$ 💡 **Tip:** Si el producto escalar de los vectores directores es cero, no es necesario calcular los módulos; las rectas son perpendiculares directamente.

**c) El plano paralelo a las dos rectas y que pasa por el punto $A(1, 2, 1)$. (1 punto)** Si el plano $\pi$ es paralelo a las rectas $r$ y $s$, sus vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ están contenidos en el plano o son paralelos a él. Por tanto, el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$ se obtiene mediante el producto vectorial de ambos: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante: $$\vec{n}_\pi = \mathbf{i}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1)$$ $$\vec{n}_\pi = -1\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 5\mathbf{k}$$ $$\vec{n}_\pi = (-1, -2, 5)$$

Utilizamos el vector normal $\vec{n}_\pi = (-1, -2, 5)$ y el punto $A(1, 2, 1)$ para hallar la ecuación del plano: $$-1(x - 1) - 2(y - 2) + 5(z - 1) = 0$$ Desarrollamos los paréntesis: $$-x + 1 - 2y + 4 + 5z - 5 = 0$$ $$-x - 2y + 5z = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener una expresión más usual: $$x + 2y - 5z = 0$$ 💡 **Tip:** La ecuación de un plano que pasa por $(x_0, y_0, z_0)$ con normal $(A, B, C)$ es $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + 2y - 5z = 0}$$