Puntos de corte y área entre funciones

**a) Halla los puntos de corte de las gráficas de $f$ y $g$. (1 punto)** Para hallar los puntos de corte entre las gráficas de dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, debemos igualar sus expresiones y resolver la ecuación resultante: $$f(x) = g(x) \implies \frac{x^2}{4} = 2\sqrt{x}$$ Como el dominio de $g(x)$ es $[0, +\infty)$, buscaremos soluciones en este intervalo. Multiplicamos por 4 para eliminar el denominador: $$x^2 = 8\sqrt{x}$$ Para eliminar la raíz cuadrada, elevamos ambos miembros al cuadrado: $$(x^2)^2 = (8\sqrt{x})^2 \implies x^4 = 64x$$ 💡 **Tip:** Al elevar al cuadrado, podríamos introducir soluciones falsas. Es importante comprobar los resultados al final o asegurar que ambos miembros son positivos (lo cual se cumple para $x \ge 0$).

Pasamos todos los términos a un lado de la ecuación para factorizar: $$x^4 - 64x = 0 \implies x(x^3 - 64) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $x = 0$ 2. $x^3 - 64 = 0 \implies x^3 = 64 \implies x = \sqrt[3]{64} = 4$ Ahora calculamos la ordenada ($y$) de cada punto sustituyendo en cualquiera de las funciones originales: - Para $x = 0$: $f(0) = \frac{0^2}{4} = 0$. El punto es **$(0, 0)$**. - Para $x = 4$: $f(4) = \frac{4^2}{4} = 4$. El punto es **$(4, 4)$**. ✅ **Resultado (puntos de corte):** $$\boxed{(0, 0) \text{ y } (4, 4)}$$

**b) Realiza un esbozo del recinto que queda limitado por las gráficas de las funciones entre esos puntos y calcula su área. (1.5 puntos)** - La función $f(x) = \frac{x^2}{4}$ es una parábola convexa con vértice en $(0,0)$. - La función $g(x) = 2\sqrt{x}$ es la rama superior de una parábola horizontal, que pasa por $(0,0)$ y $(4,4)$. En el intervalo $(0, 4)$, observamos cuál queda por encima. Probando con $x=1$: $f(1) = 0.25$ $g(1) = 2$ Como $g(1) \gt f(1)$, la función $g(x)$ es el límite superior y $f(x)$ el inferior. Aquí tienes la representación gráfica del recinto:

El área $A$ del recinto limitado por dos funciones entre sus puntos de corte $x=a$ y $x=b$ viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones: $$A = \int_{a}^{b} (\text{función superior} - \text{función inferior}) \, dx$$ Sustituyendo nuestros datos: $$A = \int_{0}^{4} \left( 2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4} \right) dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\sqrt{x} = x^{1/2}$ para facilitar la integración.

Calculamos primero la integral indefinida (primitiva): $$\int \left( 2x^{1/2} - \frac{1}{4}x^2 \right) dx = 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{4}{3}x\sqrt{x} - \frac{x^3}{12}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $0$ y $4$: $$A = \left[ \frac{4}{3}x\sqrt{x} - \frac{x^3}{12} \right]_0^4$$ Evaluamos en el límite superior ($x=4$): $$\left( \frac{4}{3} \cdot 4 \cdot \sqrt{4} - \frac{4^3}{12} \right) = \left( \frac{4 \cdot 4 \cdot 2}{3} - \frac{64}{12} \right) = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=0$): $$\left( \frac{4}{3} \cdot 0 \cdot \sqrt{0} - \frac{0^3}{12} \right) = 0$$ Por tanto: $$A = \frac{16}{3} - 0 = \frac{16}{3} \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{A = \frac{16}{3} \approx 5.33 \text{ u}^2}$$