Sistema de ecuaciones: Combates de boxeo

**a) Plantea, en el campo de los números reales, el sistema de ecuaciones que modeliza el problema en función del número de combates ganados, hechos nulos y perdidos. Y, si es posible, calcúlalos. (1.5 puntos)** Primero, definimos las variables que representan las incógnitas del problema: - $x$: número de combates ganados. - $y$: número de combates nulos (empates). - $z$: número de combates perdidos. A partir del enunciado, extraemos las siguientes ecuaciones: 1. Total de combates: $x + y + z = 20$ 2. Ganancias reales (en miles de €): $3x + 2y + z = 40$ 3. Ganancias hipotéticas (en miles de €): $6x + 4y + z = 72$ El sistema de ecuaciones lineales resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 20 \\ 3x + 2y + z = 40 \\ 6x + 4y + z = 72 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Al trabajar con problemas de dinero, es más sencillo usar unidades de "miles de euros" para evitar manejar números con muchos ceros.

Para resolver el sistema, utilizaremos el método de Gauss sobre la matriz ampliada: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 20 \\ 3 & 2 & 1 & 40 \\ 6 & 4 & 1 & 72 \end{array}\right)$$ Realizamos operaciones elementales por filas para hacer ceros bajo la diagonal principal: 1. $F_2 \to F_2 - 3F_1$: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 20 \\ 0 & -1 & -2 & -20 \\ 6 & 4 & 1 & 72 \end{array}\right)$$ 2. $F_3 \to F_3 - 6F_1$: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 20 \\ 0 & -1 & -2 & -20 \\ 0 & -2 & -5 & -48 \end{array}\right)$$ 3. $F_3 \to F_3 - 2F_2$: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 20 \\ 0 & -1 & -2 & -20 \\ 0 & 0 & -1 & -8 \end{array}\right)$$ Ahora despejamos desde la última fila: - De $F_3$: $-z = -8 \implies \mathbf{z = 8}$ - De $F_2$: $-y - 2(8) = -20 \implies -y - 16 = -20 \implies \mathbf{y = 4}$ - De $F_1$: $x + 4 + 8 = 20 \implies x + 12 = 20 \implies \mathbf{x = 8}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 8 \text{ ganados}, y = 4 \text{ nulos}, z = 8 \text{ perdidos}}$$

**b) Estudia si hay alguna cantidad $k$ que sustituya a los 6 mil euros por combate ganado que hiciera imposible la solución del problema dentro del campo de los números reales. (1 punto)** Sustituimos el valor $6$ por un parámetro $k$ en la tercera ecuación (ganancia por combate ganado en la situación hipotética). El sistema queda: $$\begin{cases} x + y + z = 20 \\ 3x + 2y + z = 40 \\ kx + 4y + z = 72 \end{cases}$$ Para que el problema sea imposible (Sistema Incompatible), el determinante de la matriz de coeficientes $A$ debe ser cero. Calculamos $|A|$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ k & 4 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = (1 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot k + 3 \cdot 4 \cdot 1) - (k \cdot 2 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \cdot 1)$$ $$|A| = (2 + k + 12) - (2k + 4 + 3) = k + 14 - 2k - 7 = 7 - k$$ Si $k = 7$, entonces $|A| = 0$ y el sistema no es de Cramer. 💡 **Tip:** Según el Teorema de Rouché-Frobenius, un sistema es incompatible si el rango de la matriz de coeficientes es distinto al rango de la matriz ampliada.

Analizamos el rango de la matriz ampliada $A^*$ para $k = 7$: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 20 \\ 3 & 2 & 1 & 40 \\ 7 & 4 & 1 & 72 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $\text{rang}(A) = 2$ porque el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 3 = -1 \neq 0$. Comprobamos el rango de $A^*$ usando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 20 \\ 3 & 2 & 40 \\ 7 & 4 & 72 \end{vmatrix} = (144 + 280 + 240) - (280 + 160 + 216) = 664 - 656 = 8 \neq 0$$ Como el determinante es $8 \neq 0$, el $\text{rang}(A^*) = 3$. Al ser $\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } k = 7 \text{ (7 mil euros), el problema no tiene solución.}}$$