Probabilidad y Estadística 2017 Aragon
Probabilidad en extracciones sucesivas sin reemplazo
4. (1 punto) En una urna hay 10 bolas blancas y 3 negras. Se extrae una bola al azar y, sin verla ni reemplazarla, se extrae una segunda bola.
a) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea negra?
b) (0,5 puntos) Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, calcule la probabilidad de que la primera bola extraída fuera negra también.
Paso 1
Definición de eventos y diagrama de árbol
**a) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea negra?**
Primero, definimos los sucesos para mayor claridad:
- $B_1$: La primera bola extraída es blanca.
- $N_1$: La primera bola extraída es negra.
- $B_2$: La segunda bola extraída es blanca.
- $N_2$: La segunda bola extraída es negra.
Como las extracciones son **sin reemplazo**, la composición de la urna para la segunda extracción depende de lo ocurrido en la primera. Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:
💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la suma de las probabilidades que parten de un mismo nodo siempre debe ser 1.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de que la segunda sea negra
Para calcular la probabilidad de que la segunda bola sea negra, $P(N_2)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las ramas que terminan en el suceso $N_2$:
$$P(N_2) = P(B_1) \cdot P(N_2|B_1) + P(N_1) \cdot P(N_2|N_1)$$
Sustituimos los valores del árbol:
$$P(N_2) = \frac{10}{13} \cdot \frac{3}{12} + \frac{3}{13} \cdot \frac{2}{12}$$
$$P(N_2) = \frac{30}{156} + \frac{6}{156} = \frac{36}{156}$$
Simplificamos la fracción dividiendo entre 12:
$$P(N_2) = \frac{36 \div 12}{156 \div 12} = \frac{3}{13}$$
✅ **Resultado (apartado a):**
$$\boxed{P(N_2) = \dfrac{3}{13} \approx 0,2308}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Bayes)
**b) (0,5 puntos) Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, calcule la probabilidad de que la primera bola extraída fuera negra también.**
Nos piden una probabilidad a posteriori, es decir, la probabilidad del suceso inicial $N_1$ dado que ha ocurrido el suceso final $N_2$. Para ello usamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(N_1|N_2) = \frac{P(N_1 \cap N_2)}{P(N_2)}$$
Donde:
- $P(N_1 \cap N_2) = P(N_1) \cdot P(N_2|N_1) = \frac{3}{13} \cdot \frac{2}{12} = \frac{6}{156}$
- $P(N_2) = \frac{36}{156}$ (calculado en el apartado anterior)
Sustituimos:
$$P(N_1|N_2) = \frac{\frac{6}{156}}{\frac{36}{156}} = \frac{6}{36}$$
Simplificamos:
$$P(N_1|N_2) = \frac{1}{6}$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes relaciona la probabilidad de que ocurra un evento inicial cuando ya sabemos el resultado final. Es la relación entre la rama específica y la suma total del apartado anterior.
✅ **Resultado (apartado b):**
$$\boxed{P(N_1|N_2) = \dfrac{1}{6} \approx 0,1667}$$