Optimización y límites con L'Hôpital

**a) (2 puntos) Encuentre dos números tales que el doble del primero más el triple del segundo sea 24 y su producto sea máximo.** Sean $x$ el primer número e $y$ el segundo número. Según el enunciado, se debe cumplir la siguiente restricción: $$2x + 3y = 24$$ Queremos maximizar el producto de ambos números, por lo que definimos la función objetivo $P$: $$P(x, y) = x \cdot y$$ Para trabajar con una sola variable, despejamos $y$ de la restricción: $$3y = 24 - 2x \implies y = \frac{24 - 2x}{3} = 8 - \frac{2}{3}x$$ Sustituimos en la función del producto: $$P(x) = x \left( 8 - \frac{2}{3}x \right) = 8x - \frac{2}{3}x^2$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre identifica primero la función que quieres maximizar/minimizar y la condición que relaciona las variables.

Para encontrar el máximo, calculamos la derivada de $P(x)$ e igualamos a cero: $$P'(x) = 8 - \frac{4}{3}x$$ Resolvemos $P'(x) = 0$: $$8 - \frac{4}{3}x = 0 \implies 8 = \frac{4}{3}x \implies 24 = 4x \implies x = 6$$ Ahora calculamos el valor de $y$ correspondiente: $$y = 8 - \frac{2}{3}(6) = 8 - 4 = 4$$ 💡 **Tip:** El valor crítico es el candidato a extremo. Debemos comprobar si efectivamente es un máximo.

Para verificar que $x = 6$ es un máximo relativo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$P''(x) = -\frac{4}{3}$$ Como $P''(6) = -\frac{4}{3} \lt 0$, la función presenta un **máximo relativo** en $x = 6$. Los dos números buscados son $6$ y $4$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 6, \quad y = 4}$$

**b) (2 puntos) Determine: $\lim_{x \to 0} \left( \frac{x + 1}{1 + \text{sen}(x)} \right)^{\frac{1}{x^2}}$** Evaluamos el límite directamente: $$\lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{1 + \text{sen}(x)} = \frac{0 + 1}{1 + 0} = 1$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$$ Estamos ante una indeterminación del tipo **$1^\infty$**. 💡 **Tip:** Para resolver límites del tipo $1^\infty$, usamos la propiedad: $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x)[f(x) - 1]}$.

Aplicamos la fórmula mencionada: $$L = e^A, \quad \text{donde } A = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \left( \frac{x + 1}{1 + \text{sen}(x)} - 1 \right)$$ Simplificamos la expresión entre paréntesis: $$A = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \left( \frac{x + 1 - (1 + \text{sen}(x))}{1 + \text{sen}(x)} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{x - \text{sen}(x)}{x^2(1 + \text{sen}(x))}$$ Podemos separar el límite en dos partes para simplificar, ya que $\lim_{x \to 0} (1 + \text{sen}(x)) = 1$: $$A = \lim_{x \to 0} \frac{x - \text{sen}(x)}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \text{sen}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x - \text{sen}(x)}{x^2} \cdot 1$$

Tenemos el límite $A = \lim_{x \to 0} \frac{x - \text{sen}(x)}{x^2}$, que es una indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicamos la **Regla de L'Hôpital** derivando numerador y denominador: $$A = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{2x}$$ Sigue siendo $\frac{0}{0}$, aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$A = \lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(x)}{2}$$ Evaluamos el límite: $$A = \frac{\text{sen}(0)}{2} = \frac{0}{2} = 0$$ 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital se puede aplicar sucesivamente mientras se mantenga la indeterminación $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ y las funciones sean derivables.

Una vez obtenido el valor del exponente $A = 0$, calculamos el límite final: $$L = e^A = e^0 = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \left( \frac{x + 1}{1 + \text{sen}(x)} \right)^{\frac{1}{x^2}} = 1}$$