Posición relativa de planos y ángulo entre rectas

**a) (1 punto) Sea "$m$" una constante real. Determine la posición relativa de los planos siguientes, según los valores de "$m$":** Para estudiar la posición relativa, primero obtenemos la ecuación general del plano $\pi'$. A partir de sus ecuaciones paramétricas, identificamos un punto $P'$ y dos vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$: $$P'(0, 1, 2); \quad \vec{u} = (1, -1, -2); \quad \vec{v} = (1, 0, 1)$$ El vector normal $\vec{n}'$ se obtiene mediante el producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$: $$\vec{n}' = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{n}' = (-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-2))\vec{i} - (1 \cdot 1 - 1 \cdot (-2))\vec{j} + (1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1))\vec{k}$$ $$\vec{n}' = -1\vec{i} - 3\vec{j} + 1\vec{k} = (-1, -3, 1)$$ La ecuación del plano será de la forma $-x - 3y + z + D = 0$. Sustituimos el punto $P'(0, 1, 2)$: $$-(0) - 3(1) + 2 + D = 0 \implies -3 + 2 + D = 0 \implies D = 1$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar, la ecuación general de $\pi'$ es: $$\boxed{\pi' : x + 3y - z - 1 = 0}$$

Tenemos los dos planos en forma implícita: $$\pi : mx - 6y + 2z - 2 = 0$$ $$\pi' : x + 3y - z - 1 = 0$$ Sus vectores normales son $\vec{n}(m, -6, 2)$ y $\vec{n}'(1, 3, -1)$. Los planos serán paralelos o coincidentes si sus vectores normales son proporcionales: $$\frac{m}{1} = \frac{-6}{3} = \frac{2}{-1}$$ Calculamos el valor de la razón: $$\frac{-6}{3} = -2 \quad y \quad \frac{2}{-1} = -2$$ Por tanto, para que sean paralelos debe cumplirse que $m = -2$. 💡 **Tip:** Si los coeficientes $A, B, C$ son proporcionales, los planos son paralelos. Si además el término independiente $D$ mantiene la misma proporción, son coincidentes.

Analizamos los casos según el valor de $m$: 1. **Si $m = -2$:** Los vectores normales son proporcionales. Comprobamos la relación con los términos independientes: $$\frac{m}{1} = \frac{-6}{3} = \frac{2}{-1} = -2 \neq \frac{-2}{-1} = 2$$ Como la proporción no se mantiene en el término independiente, los planos son **paralelos no coincidentes**. 2. **Si $m \neq -2$:** Los vectores normales no son proporcionales. Por lo tanto, los planos se cortan en una recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = -2, \text{ los planos son paralelos. Si } m \neq -2, \text{ los planos son secantes.}}$$

**b) (1 punto) Determine el ángulo que forman las rectas:** Para hallar el ángulo entre las rectas $r$ y $s$, necesitamos sus vectores directores. El vector director $\vec{d}_r$ de la recta $r$ se obtiene con el producto vectorial de los normales de los planos que la definen: $$\vec{d}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0-1)\vec{i} - (0-0)\vec{j} + (1-0)\vec{k} = (-1, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** El ángulo entre dos rectas es el ángulo agudo que forman sus vectores directores.

Hacemos lo mismo para la recta $s$: $$\vec{d}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -4 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}$$ Calculando por Sarrus: $$\vec{d}_s = \vec{i}(-12 - (-2)) - \vec{j}(6 - (-2)) + \vec{k}(2 - (-4))$$ $$\vec{d}_s = -10\vec{i} - 8\vec{j} + 6\vec{k} = (-10, -8, 6)$$ Podemos simplificarlo dividiendo entre $2$ (o $-2$), pero operaremos con este directamente.

Usamos la fórmula del coseno del ángulo entre dos vectores: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{d}_r \cdot \vec{d}_s|}{|\vec{d}_r| \cdot |\vec{d}_s|}$$ Calculamos los elementos: - Producto escalar: $\vec{d}_r \cdot \vec{d}_s = (-1)(-10) + (0)(-8) + (1)(6) = 10 + 6 = 16$ - Módulo de $\vec{d}_r$: $|\vec{d}_r| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ - Módulo de $\vec{d}_s$: $|\vec{d}_s| = \sqrt{(-10)^2 + (-8)^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 64 + 36} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ Sustituimos: $$\cos \alpha = \frac{|16|}{\sqrt{2} \cdot 10\sqrt{2}} = \frac{16}{10 \cdot 2} = \frac{16}{20} = 0.8$$ Para hallar el ángulo: $$\alpha = \arccos(0.8) \approx 36.87^\circ$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha \approx 36.87^\circ}$$