Propiedades de determinantes y ecuaciones matriciales

**a.1) (1 punto) Considere la matriz $B = \left(\frac{1}{2}\right) A$. Si $|B| = 1$, calcule el determinante de $A$, es decir: $|A|$.** Para resolver este apartado, aplicamos la propiedad del determinante de una matriz multiplicada por un escalar: Si $A$ es una matriz de orden $n$ y $k$ es un número real, entonces $|k \cdot A| = k^n \cdot |A|$. En este caso: - La dimensión de la matriz es $n = 3$. - El escalar es $k = \frac{1}{2}$. - El determinante de $B$ es $|B| = 1$. Sustituimos en la fórmula: $$|B| = \left| \frac{1}{2} A \right| = \left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot |A|$$ $$1 = \frac{1}{8} \cdot |A|$$ Despejando $|A|$: $$|A| = 1 \cdot 8 = 8$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al sacar un escalar fuera de un determinante, este sale elevado al orden de la matriz porque multiplica a cada una de las $n$ filas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A| = 8}$$

**a.2) (1 punto) Si $A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ x - 1 & 2 & 0 \\ 2 & x - 1 & 2 \end{pmatrix}$ determine los valores de $x$ para los que se cumple que $|B| = 1$, siendo $B = \left(\frac{1}{2}\right) A$.** Del apartado anterior, sabemos que la condición $|B| = 1$ equivale a que $|A| = 8$. Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ x - 1 & 2 & 0 \\ 2 & x - 1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [x \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot 2 + (x-1) \cdot (x-1) \cdot 1] - [1 \cdot 2 \cdot 2 + 0 \cdot (x-1) \cdot x + 2 \cdot (x-1) \cdot 1]$$ $$|A| = [4x + 0 + (x-1)^2] - [4 + 0 + 2x - 2]$$ $$|A| = 4x + (x^2 - 2x + 1) - (2x + 2)$$ $$|A| = x^2 + 2x + 1 - 2x - 2 = x^2 - 1$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al aplicar Sarrus, especialmente al restar el bloque de los productos de la diagonal secundaria. $$\boxed{|A| = x^2 - 1}$$

Igualamos el determinante obtenido al valor necesario calculado en el apartado a.1 ($|A| = 8$): $$x^2 - 1 = 8$$ $$x^2 = 9$$ $$x = \pm \sqrt{9}$$ $$x = 3 \quad \text{y} \quad x = -3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 3, x = -3}$$

**b) (1 punto) Determine las matrices cuadradas de dimensión 2 x 2 de la forma $M = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & y \end{pmatrix}$ que verifiquen que $MM' = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ donde $M'$ representa la matriz traspuesta de $M$.** Primero, escribimos la matriz traspuesta $M'$ cambiando filas por columnas: $$M' = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ x & y \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos el producto $M M'$: $$M M' = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ x & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + x \cdot x & 1\cdot 0 + x \cdot y \\ 0 \cdot 1 + y \cdot x & 0 \cdot 0 + y \cdot y \end{pmatrix}$$ $$M M' = \begin{pmatrix} 1 + x^2 & xy \\ xy & y^2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El producto de una matriz por su traspuesta siempre da como resultado una matriz simétrica (los elementos fuera de la diagonal principal son iguales).

Igualamos la matriz resultante a la matriz dada en el enunciado: $$\begin{pmatrix} 1 + x^2 & xy \\ xy & y^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$$ Esto nos genera el siguiente sistema de ecuaciones: 1) $1 + x^2 = 1 \implies x^2 = 0 \implies \mathbf{x = 0}$ 2) $xy = 0$ 3) $y^2 = 4 \implies y = \pm \sqrt{4} \implies \mathbf{y = \pm 2}$ Comprobamos que si $x = 0$, la segunda ecuación ($0 \cdot y = 0$) se cumple para cualquier valor de $y$. Por tanto, los valores válidos son $x = 0$ con $y = 2$ y $x = 0$ con $y = -2$. Las matrices buscadas son: $$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \text{ y } M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}}$$