Estudio de función logarítmica y límites con parámetros

**a.1) (0,5 puntos) Determine el dominio de la función $f(x)$.** La función viene dada por $f(x) = x(\ln(x))^2$. Para determinar su dominio, debemos analizar las restricciones de los elementos que la componen: 1. El término $x$ es un polinomio, definido para todo $\mathbb{R}$. 2. El término $(\ln(x))^2$ contiene un logaritmo neperiano. La función logaritmo solo está definida para valores estrictamente positivos de su argumento. Por tanto, la condición que debe cumplirse es: $$x \gt 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(g(x))$ requiere siempre que $g(x) \gt 0$. El cuadrado de la función no afecta al dominio, solo al valor de la imagen. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = (0, +\infty)}$$

**a.2) (1,5 puntos) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de esa función.** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento), calculamos primero la derivada $f'(x)$ utilizando la regla del producto: $$f'(x) = (x)' \cdot (\ln x)^2 + x \cdot [(\ln x)^2]'$$ Aplicamos la regla de la cadena para derivar $(\ln x)^2$: $$f'(x) = 1 \cdot (\ln x)^2 + x \cdot \left( 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \right)$$ $$f'(x) = (\ln x)^2 + 2 \ln x$$ Factorizamos la expresión para facilitar la búsqueda de puntos críticos: $$f'(x) = \ln x \cdot (\ln x + 2)$$ 💡 **Tip:** La derivada de un producto es $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Aquí $u=x$ y $v=(\ln x)^2$. $$\boxed{f'(x) = \ln x (\ln x + 2)}$$

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies \ln x (\ln x + 2) = 0$$ Esto nos da dos posibilidades: 1. $\ln x = 0 \implies x = e^0 = 1$ 2. $\ln x + 2 = 0 \implies \ln x = -2 \implies x = e^{-2} = \frac{1}{e^2} \approx 0.135$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio $(0, +\infty)$ y los puntos críticos $x = e^{-2}$ y $x = 1$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (0, e^{-2}) & e^{-2} & (e^{-2}, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline \ln x & - & - & - & 0 & + \\ \ln x + 2 & - & 0 & + & + & + \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Función} & \text{Creciente} & \text{Máx} & \text{Decreciente} & \text{Mín} & \text{Creciente} \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Crecimiento: } (0, e^{-2}) \cup (1, +\infty) \\ &\text{Decrecimiento: } (e^{-2}, 1) \end{aligned}}$$

**a.3) (1 punto) Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos y, en ese caso, calcule el valor de la función $f(x)$ en cada uno de ellos.** A partir del estudio de monotonía anterior, identificamos los extremos relativos: **Máximo relativo:** Ocurre en $x = e^{-2}$ porque la función pasa de crecer a decrecer. Calculamos su valor: $$f(e^{-2}) = e^{-2} \cdot (\ln(e^{-2}))^2 = e^{-2} \cdot (-2)^2 = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$$ **Mínimo relativo:** Ocurre en $x = 1$ porque la función pasa de decrecer a crecer. Calculamos su valor: $$f(1) = 1 \cdot (\ln(1))^2 = 1 \cdot 0^2 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo relativo: } (e^{-2}, 4/e^2) \approx (0.135, 0.541) \quad \text{Mínimo relativo: } (1, 0)}$$

**b) (1 punto) Determine el valor de la constante $k$ para que se verifique que:** $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + kx - 7} - \sqrt{x^2 - 2x + 5} = \frac{5}{3}$$ El límite presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$. Para resolverla, multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + kx - 7} - \sqrt{x^2 - 2x + 5})(\sqrt{x^2 + kx - 7} + \sqrt{x^2 - 2x + 5})}{\sqrt{x^2 + kx - 7} + \sqrt{x^2 - 2x + 5}}$$ Aplicamos la identidad $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ en el numerador: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 + kx - 7) - (x^2 - 2x + 5)}{\sqrt{x^2 + kx - 7} + \sqrt{x^2 - 2x + 5}}$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{kx + 2x - 12}{\sqrt{x^2 + kx - 7} + \sqrt{x^2 - 2x + 5}}$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(k+2)x - 12}{\sqrt{x^2 + kx - 7} + \sqrt{x^2 - 2x + 5}}$$ 💡 **Tip:** Al multiplicar por el conjugado, eliminamos las raíces del numerador, permitiendo comparar los grados de los polinomios resultantes.

Dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de $x$ (que es $x^1$ o $\sqrt{x^2}$): $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{(k+2)x}{x} - \frac{12}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2} + \frac{kx}{x^2} - \frac{7}{x^2}} + \sqrt{\frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{5}{x^2}}}$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(k+2) - \frac{12}{x}}{\sqrt{1 + \frac{k}{x} - \frac{7}{x^2}} + \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^2}}} = \frac{k+2}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{k+2}{2}$$ Según el enunciado, este límite debe valer $5/3$: $$\frac{k+2}{2} = \frac{5}{3}$$ Resolvemos para $k$: $$3(k+2) = 10$$ $$3k + 6 = 10 \implies 3k = 4 \implies k = \frac{4}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = \frac{4}{3}}$$