Posición relativa de dos rectas y distancias

**a) (1 punto) Determine la posición relativa de las dos rectas siguientes.** Primero, identificamos un punto $A_r$ y el vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$, que viene dada en forma paramétrica: $$r : \begin{cases} x = 1 + 1t \\ y = 1 + 1t \\ z = 0 + 1t \end{cases}$$ Los coeficientes del parámetro $t$ nos dan el vector director, y los términos independientes el punto: $$\vec{v}_r = (1, 1, 1), \quad A_r = (1, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** En la forma paramétrica $\{x = a + v_1t, y = b + v_2t, z = c + v_3t\}$, el vector es $(v_1, v_2, v_3)$ y el punto es $(a, b, c)$.

La recta $s$ viene dada como intersección de dos planos (forma implícita). Para obtener su vector director $\vec{v}_s$, realizamos el producto vectorial de los vectores normales de ambos planos: Plano 1: $2x - y = 0 \implies \vec{n}_1 = (2, -1, 0)$ Plano 2: $3y - 2z = 0 \implies \vec{n}_2 = (0, 3, -2)$ $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_s = [(-1)(-2)]\vec{i} - [(2)(-2)]\vec{j} + [(2)(3)]\vec{k} = 2\vec{i} + 4\vec{j} + 6\vec{k}$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 2: **$\vec{v}_s = (1, 2, 3)$**. Para el punto $A_s$, buscamos una solución del sistema. Si hacemos $y = 0$: $2x - 0 = 0 \implies x = 0$ $3(0) - 2z = 0 \implies z = 0$ Por tanto, **$A_s = (0, 0, 0)$**. $$\boxed{\vec{v}_s = (1, 2, 3), \quad A_s = (0, 0, 0)}$$

Comparamos los vectores directores $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$ y $\vec{v}_s = (1, 2, 3)$. No son proporcionales $(\frac{1}{1} \neq \frac{1}{2} \neq \frac{1}{3})$, por lo que las rectas **se cortan o se cruzan**. Calculamos el vector que une ambos puntos: $\vec{A_s A_r} = A_r - A_s = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0)$. Analizamos el determinante de la matriz formada por los tres vectores: $$\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{A_s A_r}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Aplicamos Sarrus: $$= (0 + 3 + 1) - (2 + 3 + 0) = 4 - 5 = -1$$ Como el determinante es distinto de cero (rango 3), los vectores son linealmente independientes. 💡 **Tip:** Si $\text{rg}(\vec{v}_r, \vec{v}_s) = 2$ y $\text{rg}(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{A_s A_r}) = 3$, las rectas se cruzan. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio}}$$

**b) (1 punto) Determine la distancia del punto $P(0,0,0)$ a cada una de las dos rectas anteriores.** Para la recta $r$, usamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta mediante el producto vectorial: $$d(P, r) = \frac{|\vec{v}_r \times \vec{PA_r}|}{|\vec{v}_r|}$$ Donde $P(0,0,0)$ y $A_r(1, 1, 0)$, por lo que $\vec{PA_r} = (1, 1, 0)$. Calculamos el producto vectorial: $$\vec{v}_r \times \vec{PA_r} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0-1)\vec{i} - (0-1)\vec{j} + (1-1)\vec{k} = (-1, 1, 0)$$ Calculamos los módulos: $|\vec{v}_r \times \vec{PA_r}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ $|\vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ Por tanto: $$d(P, r) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, r) = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0.816}$$

Para la recta $s$, observamos si el punto $P(0,0,0)$ pertenece a la recta sustituyendo sus coordenadas en las ecuaciones implícitas: $$s : \begin{cases} 2(0) - (0) = 0 \\ 3(0) - 2(0) = 0 \end{cases}$$ Ambas igualdades se cumplen $(0 = 0)$, lo que significa que el punto **$P$ está contenido en la recta $s$**. Si un punto pertenece a una recta, la distancia entre ellos es nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, s) = 0}$$