Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales

**a) (2 puntos) Clasifique el siguiente sistema de ecuaciones, según los diferentes valores de la constante real $\lambda$:** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ \lambda & 0 & 1 \\ 1 & 1 + \lambda & \lambda \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ \lambda & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 + \lambda & \lambda & \lambda + 1 \end{array}\right)$$ Para clasificar el sistema según el Teorema de Rouché-Capelli, empezamos calculando el determinante de la matriz $A$. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli establece que si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = n$ (nº de incógnitas), el sistema es Compatible Determinado (SCD). Si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) < n$, es Compatible Indeterminado (SCI). Si $\text{rang}(A) \neq \text{rang}(A^*)$, es Incompatible (SI).

Calculamos $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ \lambda & 0 & 1 \\ 1 & 1 + \lambda & \lambda \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot 0 \cdot \lambda) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (0 \cdot \lambda \cdot (1 + \lambda)) - [ (0 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot \lambda \cdot \lambda) + (1 \cdot 1 \cdot (1 + \lambda)) ]$$ $$|A| = 0 + 1 + 0 - [ 0 + \lambda^2 + 1 + \lambda ] = 1 - \lambda^2 - 1 - \lambda = -\lambda^2 - \lambda$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $\lambda$: $$-\lambda^2 - \lambda = 0 \implies -\lambda(\lambda + 1) = 0$$ Obtenemos los valores **$\lambda = 0$** y **$\lambda = -1$**. $$\boxed{|A| = -\lambda(\lambda + 1)}$$

Analizamos los casos según los valores de $\lambda$: **Caso 1: $\lambda \neq 0$ y $\lambda \neq -1$** Si $\lambda$ es distinto de $0$ y $-1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz $A$ es $3$. Como la matriz ampliada $A^*$ no puede tener un rango mayor que $3$ (ya que solo tiene 3 filas), el rango de $A^*$ también es $3$. $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ En este caso, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $\lambda = 0$** Sustituimos $\lambda = 0$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la primera y la tercera fila son idénticas ($F_1 = F_3$). Por tanto, el rango no es $3$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ (tomando columnas 1 y 3), por lo que $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2$. $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3$$ El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 3: $\lambda = -1$** Sustituimos $\lambda = -1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Observamos que la tercera fila es la opuesta de la segunda ($F_3 = -F_2$). El rango no es $3$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ indica que $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2$. $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3$$ El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Clasificación final:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } \lambda \neq 0, -1: \text{SCD} \\ \text{Si } \lambda = 0: \text{SCI} \\ \text{Si } \lambda = -1: \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) (1 punto) Halle la solución, si existe, cuando $\lambda = 1$.** Como $\lambda = 1$ no es ni $0$ ni $-1$, sabemos por el apartado anterior que el sistema es **Compatible Determinado**, por lo que existe una solución única. Sustituimos $\lambda = 1$ en las ecuaciones: 1. $x + y = 1$ 2. $x + z = 0 \implies z = -x$ 3. $x + 2y + z = 2$ Utilizamos el método de sustitución. De la ecuación (2) tenemos $z = -x$ y de la (1) tenemos $y = 1 - x$. Sustituimos ambos en la ecuación (3): $$x + 2(1 - x) + (-x) = 2$$ $$x + 2 - 2x - x = 2$$ $$-2x = 0 \implies x = 0$$ Ahora calculamos $y$ y $z$: $$y = 1 - 0 = 1$$ $$z = -0 = 0$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar la solución en las tres ecuaciones originales para asegurar que los cálculos son correctos. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 0, y = 1, z = 0}$$