Continuidad, integración por partes y límites

**a) (1 punto) Determine los valores de “a” y “b” para que la función que aparece a continuación sea continua.** Para que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio, debe serlo en los puntos donde cambia de rama: $x=0$ y $x=\pi$. Las ramas individuales son funciones continuas (exponenciales, trigonométricas y polinómicas), por lo que solo debemos garantizar la continuidad en los saltos entre ramas. 💡 **Tip:** Una función es continua en $x=c$ si $f(c) = \lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x)$.

Estudiamos el límite por la izquierda, por la derecha y el valor de la función en $x=0$: 1. $f(0) = \frac{1}{e^0} = 1$ 2. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{e^x} = 1$ 3. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (a \cos(x) + b) = a \cos(0) + b = a(1) + b = a + b$ Para que sea continua en $x=0$, igualamos los límites: $$a + b = 1$$

Estudiamos el límite por la izquierda, por la derecha y el valor de la función en $x=\pi$: 1. $f(\pi) = a \cos(\pi) + b = a(-1) + b = -a + b$ 2. $\lim_{x \to \pi^-} f(x) = -a + b$ 3. $\lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi} (\text{sen}(x) - ax) = \text{sen}(\pi) - a\pi = 0 - a\pi = -a\pi$ Para que sea continua en $x=\pi$: $$-a + b = -a\pi$$

Tenemos el sistema de ecuaciones: 1) $a + b = 1 \implies b = 1 - a$ 2) $-a + b = -a\pi$ Sustituimos la primera en la segunda: $-a + (1 - a) = -a\pi$ $1 - 2a = -a\pi$ $1 = 2a - a\pi$ $1 = a(2 - \pi)$ $$a = \frac{1}{2 - \pi}$$ Calculamos $b$: $b = 1 - \frac{1}{2 - \pi} = \frac{2 - \pi - 1}{2 - \pi} = \frac{1 - \pi}{2 - \pi}$ ✅ **Resultado final (a y b):** $$\boxed{a = \frac{1}{2-\pi}, \quad b = \frac{1-\pi}{2-\pi}}$$

**b) (1,5 puntos) Calcule la integral: $\int x^2(\ln x)^2 dx$** Utilizaremos el método de **integración por partes** dos veces. 💡 **Tip:** Recordamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Elegimos $u$ siguiendo la regla ALPES (Logarítmica antes que Polinómica). Elegimos: - $u = (\ln x)^2 \implies du = 2(\ln x) \cdot \frac{1}{x} dx$ - $dv = x^2 dx \implies v = \frac{x^3}{3}$ Aplicamos la fórmula: $$I = \frac{x^3}{3}(\ln x)^2 - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{2\ln x}{x} dx = \frac{x^3}{3}(\ln x)^2 - \frac{2}{3} \int x^2 \ln x \, dx$$

Calculamos la integral restante $\int x^2 \ln x \, dx$ de nuevo por partes: - $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} dx$ - $dv = x^2 dx \implies v = \frac{x^3}{3}$ $$\int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 dx$$ $$\int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9}$$

Sustituimos el resultado en la expresión original de $I$: $$I = \frac{x^3}{3}(\ln x)^2 - \frac{2}{3} \left( \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} \right) + C$$ $$I = \frac{x^3}{3}(\ln x)^2 - \frac{2x^3}{9} \ln x + \frac{2x^3}{27} + C$$ ✅ **Resultado (integral):** $$\boxed{\int x^2(\ln x)^2 dx = \frac{x^3}{3}(\ln x)^2 - \frac{2x^3}{9} \ln x + \frac{2x^3}{27} + C}$$

**c) (1,5 puntos) Determine el siguiente límite: $\lim_{x \to 1} (e^{(x-1)} - 1)^{(x-1)}$** Evaluamos el límite directamente: Como $x \to 1$, entonces $(x-1) \to 0$. $e^{(1-1)} - 1 = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$. Estamos ante una indeterminación del tipo **$0^0$**. Para resolverla, llamamos $L$ al límite y aplicamos logaritmos naturales: $$\ln L = \lim_{x \to 1} \ln \left( (e^{x-1} - 1)^{x-1} \right) = \lim_{x \to 1} (x-1) \ln(e^{x-1} - 1)$$ Esto genera una indeterminación de tipo $0 \cdot \infty$.

Para aplicar L'Hôpital, transformamos el producto en cociente y realizamos el cambio de variable $t = x-1$ para simplificar (cuando $x \to 1, t \to 0$): $$\ln L = \lim_{t \to 0} \frac{\ln(e^t - 1)}{1/t}$$ Ahora tenemos una indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador: $$\ln L = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{e^t}{e^t - 1}}{-1/t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{-t^2 e^t}{e^t - 1}$$ Separamos el límite: $$\ln L = \left( \lim_{t \to 0} -e^t \right) \cdot \left( \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{e^t - 1} \right) = -1 \cdot \left( \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{e^t - 1} \right)$$ Aplicamos L'Hôpital otra vez en la fracción: $$\lim_{t \to 0} \frac{2t}{e^t} = \frac{0}{1} = 0$$ Por tanto, $\ln L = -1 \cdot 0 = 0$.

Si $\ln L = 0$, entonces despejamos $L$ usando la función exponencial: $$L = e^0 = 1$$ ✅ **Resultado (límite):** $$\boxed{\lim_{x \to 1} (e^{(x-1)} - 1)^{(x-1)} = 1}$$ 💡 **Tip:** Ante una indeterminación $0^0$, $1^\infty$ o $\infty^0$, usa siempre el recurso de tomar logaritmos para convertirlo en un cociente aplicable a L'Hôpital.