Geometría: Rectas paralelas y ángulo entre planos

**a) (1,5 puntos) Determine, como intersección de dos planos, la ecuación de la recta que es paralela a la recta $r$ y pasa por el punto $P: (2, 1, -1)$.** La recta $r$ viene dada como la intersección de dos planos: $$\pi_1 : 2x - 3y + z - 4 = 0$$ $$\pi_2 : y + z = 0$$ Para que una recta $s$ sea paralela a $r$, su vector director debe ser el mismo (o proporcional). Una forma sencilla de obtener la ecuación de una recta paralela como intersección de dos planos es encontrar dos planos $\alpha_1$ y $\alpha_2$ tales que: 1. $\alpha_1$ sea paralelo a $\pi_1$ y pase por $P$. 2. $\alpha_2$ sea paralelo a $\pi_2$ y pase por $P$. 💡 **Tip:** Dos planos son paralelos si sus vectores normales son iguales. La ecuación de un plano paralelo a $Ax + By + Cz + D = 0$ tiene la forma $Ax + By + Cz + D' = 0$.

Calculamos el primer plano $\alpha_1$ paralelo a $\pi_1$ pasando por $P(2, 1, -1)$: $$2x - 3y + z + D_1 = 0$$ Sustituimos el punto $P$: $$2(2) - 3(1) + (-1) + D_1 = 0 \implies 4 - 3 - 1 + D_1 = 0 \implies D_1 = 0$$ Por tanto, $\alpha_1 : 2x - 3y + z = 0$. Calculamos el segundo plano $\alpha_2$ paralelo a $\pi_2$ pasando por $P(2, 1, -1)$: $$y + z + D_2 = 0$$ Sustituimos el punto $P$: $$1 + (-1) + D_2 = 0 \implies 0 + D_2 = 0 \implies D_2 = 0$$ Por tanto, $\alpha_2 : y + z = 0$. La recta $s$ buscada es la intersección de estos dos planos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{s : \begin{cases} 2x - 3y + z = 0 \\ y + z = 0 \end{cases}}$$

**b) (0,5 puntos) Determine el ángulo que forman los dos planos siguientes: $\pi : 2x - 3y + z = 4$ y $\pi' : y + z = 0$.** El ángulo que forman dos planos coincide con el ángulo agudo que forman sus vectores normales. Extraemos los vectores normales de las ecuaciones generales de los planos: Para $\pi : 2x - 3y + z = 4$, el vector normal es $\vec{n} = (2, -3, 1)$. Para $\pi' : y + z = 0$, el vector normal es $\vec{n'} = (0, 1, 1)$. 💡 **Tip:** El ángulo $\alpha$ entre dos planos con vectores normales $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$ se calcula mediante: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$$

Aplicamos la fórmula del ángulo: 1. Calculamos el producto escalar en valor absoluto: $$|\vec{n} \cdot \vec{n'}| = |(2 \cdot 0) + (-3 \cdot 1) + (1 \cdot 1)| = |0 - 3 + 1| = |-2| = 2$$ 2. Calculamos los módulos de los vectores: $$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$$ $$|\vec{n'}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$ 3. Sustituimos en la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{28}} = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 7}} = \frac{2}{2\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$$ Calculamos el ángulo final: $$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right) \approx \arccos(0.378) \approx 67.79^\circ$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right) \approx 67.79^\circ}$$