Estudio de una matriz con parámetros: inversión y rango

**a) (1 punto) Estudie la existencia de inversa de la matriz $A$ según los diferentes valores de $k$.** Para que una matriz cuadrada tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero ($|A| \neq 0$). Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus o desarrollando por la segunda columna, que tiene dos ceros. $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & k & 3k + 2 \\ 1 & 0 & -k \end{vmatrix}$$ Desarrollando por la segunda columna ($C_2$): $$|A| = k \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 1 & -k \end{vmatrix} = k \cdot (1 \cdot (-k) - 4 \cdot 1) = k \cdot (-k - 4) = -k^2 - 4k$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para matrices con muchos ceros en una fila o columna, es más rápido desarrollar por esa línea que usar Sarrus directamente. $$\boxed{|A| = -k(k + 4)}$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-k(k + 4) = 0 \implies k_1 = 0, \quad k_2 = -4$$ Analizamos la existencia de la inversa según el valor de $k$: * Si **$k \neq 0$ y $k \neq -4$**, el determinante $|A| \neq 0$, por lo que **existe la matriz inversa $A^{-1}$**. * Si **$k = 0$ o $k = -4$**, el determinante $|A| = 0$, por lo que **no existe la matriz inversa $A^{-1}$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\exists A^{-1} \iff k \in \mathbb{R} \setminus \{0, -4\}}$$

**b) (1 punto) Si $k = 2$, calcule la inversa de $A$, si existe.** Como $k=2$ no es $0$ ni $-4$, sabemos que la inversa existe. Sustituimos $k=2$ en la matriz: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 3(2) + 2 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 8 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante (usando la fórmula del paso 1): $|A| = -2(2 + 4) = -12$. Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(A)$: * $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -4$ * $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 8 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 8$ * $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -2$ * $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 0$ * $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -6$ * $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ * $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} = -8$ * $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 8 \end{vmatrix} = -8$ * $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2$ La matriz adjunta es $Adj(A) = \begin{pmatrix} -4 & 8 & -2 \\ 0 & -6 & 0 \\ -8 & -8 & 2 \end{pmatrix}$. La traspuesta es $(Adj(A))^T = \begin{pmatrix} -4 & 0 & -8 \\ 8 & -6 & -8 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. Aplicamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^T$: $$A^{-1} = \frac{1}{-12} \begin{pmatrix} -4 & 0 & -8 \\ 8 & -6 & -8 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/3 & 0 & 2/3 \\ -2/3 & 1/2 & 2/3 \\ 1/6 & 0 & -1/6 \end{pmatrix}}$$

**c) (1 punto) Determine el rango de la matriz $A$ según los diferentes valores de $k$.** El rango es el orden del mayor menor no nulo. Aprovechamos el estudio del determinante realizado en el apartado (a): **Caso 1: $k \neq 0$ y $k \neq -4$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que el rango es igual al orden de la matriz. $$\text{rango}(A) = 3$$ **Caso 2: $k = 0$** La matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Como $|A| = 0$, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -2 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ **Caso 3: $k = -4$** La matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & -4 & -10 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$. Como la fila 1 y la fila 3 son iguales ($F_1 = F_3$), el determinante es 0. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -4 \end{vmatrix} = -4 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ ✅ **Resumen del rango:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } k \in \mathbb{R} \setminus \{0, -4\}, & \text{rango}(A) = 3 \\ \text{Si } k = 0, & \text{rango}(A) = 2 \\ \text{Si } k = -4, & \text{rango}(A) = 2 \end{cases}}$$