Probabilidad y Estadística 2017 Aragon
Probabilidad compuesta y Teorema de la Probabilidad Total
4. (1 punto) Se dispone de dos cajas con bolas blancas y negras. La caja A contiene 6 bolas blancas y 3 negras; y la caja B contiene 4 bolas blancas y 5 negras. Se lanza un dado y si sale par se sacan dos bolas de la caja A, una tras otra, sin reponer ninguna. Por su parte, si sale impar al lanzar el dado se sacan dos bolas de la caja B, también una tras otra, sin reponer ninguna.
¿Cuál es la probabilidad de extraer exactamente dos bolas blancas?
Paso 1
Definición de sucesos y análisis previo
**¿Cuál es la probabilidad de extraer exactamente dos bolas blancas?**
Primero definimos los sucesos que intervienen en el experimento:
- $A$: Se elige la caja A (el dado sale par: $\{2, 4, 6\}$).
- $B$: Se elige la caja B (el dado sale impar: $\{1, 3, 5\}$).
- $W_1$: La primera bola extraída es blanca.
- $W_2$: La segunda bola extraída es blanca.
- $2W$: Se extraen exactamente dos bolas blancas ($W_1 \cap W_2$).
Las probabilidades de elegir cada caja al lanzar un dado equilibrado son:
$$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
$$P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
💡 **Tip:** Recuerda que en problemas de probabilidad con varias etapas (elección de caja y luego extracción), es muy útil organizar la información en un diagrama de árbol.
Paso 2
Construcción del diagrama de árbol
Representamos el proceso mediante un diagrama de árbol para visualizar todas las posibilidades y sus probabilidades condicionadas.
Paso 3
Cálculo de la probabilidad para la Caja A
Si se elige la caja A (6 blancas y 3 negras, total 9 bolas), la probabilidad de extraer dos blancas sin reemplazo es el producto de las probabilidades de cada extracción:
1. Primera bola blanca: $P(W_1 | A) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
2. Segunda bola blanca (quedan 5 blancas de 8 bolas): $P(W_2 | A \cap W_1) = \frac{5}{8}$
Por tanto:
$$P(2W | A) = \frac{6}{9} \cdot \frac{5}{8} = \frac{30}{72} = \frac{5}{12}$$
💡 **Tip:** Al ser extracciones **sin reposición**, el denominador disminuye en cada paso porque hay una bola menos en la caja.
Paso 4
Cálculo de la probabilidad para la Caja B
Si se elige la caja B (4 blancas y 5 negras, total 9 bolas), operamos de la misma forma:
1. Primera bola blanca: $P(W_1 | B) = \frac{4}{9}$
2. Segunda bola blanca (quedan 3 blancas de 8 bolas): $P(W_2 | B \cap W_1) = \frac{3}{8}$
Por tanto:
$$P(2W | B) = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$$
$$\boxed{P(2W | B) = \frac{1}{6}}$$
Paso 5
Aplicación del Teorema de la Probabilidad Total
Para hallar la probabilidad total de extraer exactamente dos blancas, sumamos las probabilidades de obtener este resultado a través de la caja A o a través de la caja B:
$$P(2W) = P(A) \cdot P(2W | A) + P(B) \cdot P(2W | B)$$
Sustituimos los valores obtenidos:
$$P(2W) = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{12} \right) + \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \right)$$
$$P(2W) = \frac{5}{24} + \frac{1}{12}$$
Para sumar las fracciones buscamos un denominador común:
$$P(2W) = \frac{5}{24} + \frac{2}{24} = \frac{7}{24}$$
Calculando el valor decimal:
$$P(2W) \approx 0.2917$$
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{P(2W) = \frac{7}{24}}$$