Estudio de una función racional: dominio, asíntotas y extremos

**a) (0,5 puntos) Determine el dominio de la función.** La función dada es una función racional: $f(x) = \frac{x^2}{1+x}$. Para que la función esté definida, el denominador debe ser distinto de cero. Resolvemos la ecuación del denominador: $$1 + x = 0 \implies x = -1$$ Por lo tanto, la función está definida para todos los números reales excepto $x = -1$. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional son todos los reales menos las raíces del denominador. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1\}}$$

**b) (1,5 puntos) Determine, si existen, sus asíntotas.** Empezamos buscando las **asíntotas verticales** en los puntos donde la función no está definida, es decir, en $x = -1$. Calculamos los límites laterales: $$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^2}{1+x} = \frac{(-1)^2}{1 + (-1^-)} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to -1^+} \frac{x^2}{1+x} = \frac{(-1)^2}{1 + (-1^+)} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ Como al menos uno de los límites laterales es infinito, existe una asíntota vertical. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{\text{Asíntota vertical en } x = -1}$$

Para las **asíntotas horizontales**, calculamos el límite cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2}{1+x} = \pm \infty$$ Como el límite es infinito (el grado del numerador es mayor que el del denominador), **no existen asíntotas horizontales**. Buscamos **asíntotas oblicuas** de la forma $y = mx + n$, ya que el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(1+x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2 + x} = 1$$ $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{1+x} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x(1+x)}{1+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x - x^2}{1+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{1+x} = -1$$ 💡 **Tip:** También puedes hallar la asíntota oblicua realizando la división polinómica de $x^2$ entre $x+1$. El cociente es la asíntota. ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{\text{Asíntota oblicua: } y = x - 1}$$

**c) (2 puntos) Determine los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento de la función $f(x)$ así como sus máximos y mínimos relativos, si existen.** Para estudiar la monotonía y los extremos, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x^2)'(1+x) - x^2(1+x)'}{(1+x)^2} = \frac{2x(1+x) - x^2(1)}{(1+x)^2} = \frac{2x + 2x^2 - x^2}{(1+x)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(1+x)^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies x^2 + 2x = 0 \implies x(x + 2) = 0$$ Obtenemos los valores **$x = 0$** y **$x = -2$**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de la derivada del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y el punto de discontinuidad ($x = -1$). Como el denominador $(1+x)^2$ siempre es positivo en el dominio, el signo de $f'(x)$ depende solo del numerador $x^2+2x$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, -1) & -1 & (-1, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** - Creciente ($\nearrow$): $(-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$ - Decreciente ($\searrow$): $(-2, -1) \cup (-1, 0)$ ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, -2) \cup (0, +\infty); \text{ Decreciente: } (-2, -1) \cup (-1, 0)}$$

A partir del análisis anterior: - En $x = -2$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. - En $x = 0$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. Calculamos las ordenadas correspondientes: - $f(-2) = \frac{(-2)^2}{1 + (-2)} = \frac{4}{-1} = -4 \implies \text{Máximo: } (-2, -4)$ - $f(0) = \frac{0^2}{1 + 0} = 0 \implies \text{Mínimo: } (0, 0)$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo: } (-2, -4); \text{ Mínimo relativo: } (0, 0)}$$