Posición relativa de planos y ángulo

**a) (1,5 puntos) Estudie la posición relativa de los planos según los diferentes valores de la constante real $k$.** Para estudiar la posición relativa de dos planos, lo más sencillo es comparar sus vectores normales. El plano $\pi$ está dado en su forma general o implícita: $x - 2y + z = 1$. Por lo tanto, su vector normal $\vec{n}$ es directo: $$\vec{n} = (1, -2, 1)$$ El plano $\pi'$ está dado en ecuaciones paramétricas. Para hallar su vector normal $\vec{n'}$, realizamos el producto vectorial de sus vectores directores $\vec{u} = (2, 1, 0)$ y $\vec{v} = (1, k, -1)$: $$\vec{n'} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & k & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus: $$\vec{n'} = (1 \cdot (-1) - 0 \cdot k) \vec{i} - (2 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) \vec{j} + (2 \cdot k - 1 \cdot 1) \vec{k}$$ $$\vec{n'} = -1 \vec{i} - (-2) \vec{j} + (2k-1) \vec{k} = (-1, 2, 2k-1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector normal a un plano $\pi: Ax + By + Cz = D$ es $\vec{n} = (A, B, C)$. Si el plano está en paramétricas, el vector normal se obtiene como el producto vectorial de sus dos vectores directores.

Dos planos son paralelos o coincidentes si sus vectores normales son proporcionales. En caso contrario, son secantes. Comparamos $\vec{n} = (1, -2, 1)$ y $\vec{n'} = (-1, 2, 2k-1)$: $$\frac{1}{-1} = \frac{-2}{2} = \frac{1}{2k-1}$$ Observamos que las dos primeras fracciones son iguales a $-1$. Para que exista proporcionalidad, se debe cumplir: $$-1 = \frac{1}{2k-1} \implies -(2k-1) = 1 \implies -2k + 1 = 1 \implies -2k = 0 \implies k = 0$$ - Si **$k \neq 0$**, los vectores normales no son proporcionales. Los planos son **secantes** (se cortan en una recta). - Si **$k = 0$**, los vectores normales son proporcionales, por lo que los planos son paralelos o coincidentes.

Si $k = 0$, ya sabemos que los vectores normales son paralelos. Veamos si los planos coinciden. Sustituimos $k=0$ en el vector normal $\vec{n'}$ y buscamos la ecuación general de $\pi'$. Para $k=0$, $\vec{n'} = (-1, 2, -1)$. La ecuación de $\pi'$ será $-x + 2y - z + D = 0$. Para hallar $D$, usamos un punto del plano $\pi'$. De las paramétricas, si $\lambda=0$ y $\mu=0$, obtenemos el punto $P(0, 0, 1)$. Sustituimos: $$-0 + 2(0) - 1 + D = 0 \implies D = 1$$ La ecuación de $\pi'$ es $-x + 2y - z + 1 = 0$, que multiplicando por $-1$ resulta en: $$\pi' : x - 2y + z = 1$$ Como es exactamente la misma ecuación que el plano $\pi$, concluimos que son el mismo plano. ✅ **Resultado (posición relativa):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } k = 0, \text{ los planos son coincidentes} \\ \text{Si } k \neq 0, \text{ los planos son secantes} \end{cases}}$$

**b) (0,5 puntos) Determine el ángulo que forman esos planos cuando $k = 3$.** El ángulo $\alpha$ que forman dos planos es el ángulo agudo que forman sus vectores normales. Se calcula mediante la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n'}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{n'}|}$$ Para $k = 3$, tenemos: $$\vec{n} = (1, -2, 1)$$ $$\vec{n'} = (-1, 2, 2(3)-1) = (-1, 2, 5)$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{n} \cdot \vec{n'} = (1)(-1) + (-2)(2) + (1)(5) = -1 - 4 + 5 = 0$$ Como el producto escalar es cero, los vectores normales son perpendiculares (ortogonales). 💡 **Tip:** Si el producto escalar de los vectores normales es cero, los planos forman un ángulo de $90^\circ$ o $\pi/2$ radianes. ✅ **Resultado (ángulo):** $$\boxed{\alpha = 90^\circ}$$