Discusión de un sistema de ecuaciones con un parámetro

**1. (3 puntos) Sea $m$ una constante real. Determine para qué valores de $m$ el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible:** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, identificando la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & m^2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 4 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & m^2 & m-1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el valor del parámetro $m$, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que relaciona el rango de estas matrices con el tipo de solución. 💡 **Tip:** Recuerda que el sistema será: - **SCD** (Compatible Determinado) si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n$ (nº de incógnitas). - **SCI** (Compatible Indeterminado) si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) \lt n$. - **SI** (Incompatible) si $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo su rango es máximo (3): $$|A| = \begin{vmatrix} 5 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & m^2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = (5 \cdot 3 \cdot m^2) + (4 \cdot 1 \cdot 4) + (2 \cdot 2 \cdot (-1)) - (4 \cdot 3 \cdot 2) - ((-1) \cdot 1 \cdot 5) - (m^2 \cdot 2 \cdot 4)$$ $$|A| = 15m^2 + 16 - 4 - 24 + 5 - 8m^2$$ $$|A| = 7m^2 - 7$$ Buscamos los valores de $m$ que anulan el determinante: $$7m^2 - 7 = 0 \implies m^2 = 1 \implies \mathbf{m = 1, \quad m = -1}$$ $$\boxed{|A| = 7(m-1)(m+1)}$$

Si $m \neq 1$ y $m \neq -1$, entonces el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero: $$|A| \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 3$$ Como el rango de la matriz ampliada $A^*$ no puede ser mayor que 3 (ya que solo tiene 3 filas) y el rango de $A$ ya es 3, se cumple que: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, en este caso el sistema es **Compatible Determinado** (tiene una única solución). ✅ **Resultado para $m \neq \pm 1$:** $$\boxed{\text{SCD (Sistema Compatible Determinado)}}$$

Si $m = 1$, sustituimos en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 4 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Observamos que la última columna de la matriz ampliada es de ceros (el sistema es **homogéneo**). En los sistemas homogéneos, el rango de $A$ siempre es igual al rango de $A^*$. Calculamos $\text{rg}(A)$. Como $|A|=0$, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 15 - 8 = 7 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$ (nº de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado**. ✅ **Resultado para $m = 1$:** $$\boxed{\text{SCI (Sistema Compatible Indeterminado)}}$$

Si $m = -1$, sustituimos en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 4 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$ Sabemos que $\text{rg}(A) = 2$ (mismo menor que en el paso anterior). Estudiamos ahora $\text{rg}(A^*)$ orlando dicho menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 5 & 4 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & -1 & -2 \end{vmatrix} = (-2) \cdot \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -2 \cdot 7 = -14 \neq 0$$ Dado que hemos encontrado un menor de orden 3 distinto de cero en $A^*$, entonces $\text{rg}(A^*) = 3$. Comparando rangos: $$\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado para $m = -1$:** $$\boxed{\text{SI (Sistema Incompatible)}}$$

A modo de conclusión, los valores de $m$ determinan el tipo de sistema de la siguiente forma: $$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Valor del parámetro} & \text{Tipo de Sistema} \\ \hline m \in \mathbb{R} \setminus \{1, -1\} & \text{Compatible Determinado (SCD)} \\ \hline m = 1 & \text{Compatible Indeterminado (SCI)} \\ \hline m = -1 & \text{Incompatible (SI)} \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable presentar un pequeño cuadro resumen al final de los ejercicios de discusión de sistemas para facilitar la corrección.