Geometría en el espacio: Plano que contiene a una recta y punto simétrico

**a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por $P$ y contiene a $r$.** Para trabajar con la recta $r$ y el plano, primero obtenemos un punto $A_r$ y un vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$ dada por sus ecuaciones implícitas: $$r: \begin{cases} x - 2y = -5 \\ z = 2 \end{cases}$$ Podemos parametrizar la recta haciendo $y = \lambda$. De la primera ecuación obtenemos $x = -5 + 2\lambda$. La segunda ecuación ya nos da $z = 2$. Por tanto, la ecuación paramétrica es: $$r: \begin{cases} x = -5 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 2 \end{cases}$$ De aquí extraemos: - Un punto de la recta: $A_r(-5, 0, 2)$ - El vector director de la recta: $\vec{v}_r = (2, 1, 0)$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una de las variables (en este caso $y$) y despejar las demás.

El plano $\pi$ que buscamos contiene a la recta $r$ y al punto $P(0, 1, 1)$. Por tanto, el plano estará definido por: 1. El punto $P(0, 1, 1)$. 2. El vector director de la recta $\vec{v}_r = (2, 1, 0)$. 3. Un segundo vector $\vec{u}$ que vaya desde un punto de la recta hasta el punto $P$, por ejemplo, el vector $\vec{A_rP}$: $$\vec{u} = \vec{A_rP} = P - A_r = (0 - (-5), 1 - 0, 1 - 2) = (5, 1, -1)$$ Ya tenemos el punto $P(0, 1, 1)$ y los dos vectores directores $\vec{v}_r(2, 1, 0)$ y $\vec{u}(5, 1, -1)$.

La ecuación del plano se obtiene mediante el determinante: $$\det \begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ v_{rx} & v_{ry} & v_{rz} \\ u_x & u_y & u_z \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} x - 0 & y - 1 & z - 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 5 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$(x)(1)(-1) + (y-1)(0)(5) + (z-1)(2)(1) - [5(1)(z-1) + 1(0)(x) + (-1)(2)(y-1)] = 0$$ $$-x + 2(z-1) - [5(z-1) - 2(y-1)] = 0$$ $$-x + 2z - 2 - [5z - 5 - 2y + 2] = 0$$ $$-x + 2z - 2 - 5z + 5 + 2y - 2 = 0$$ $$-x + 2y - 3z + 1 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar la expresión: $$x - 2y + 3z - 1 = 0$$ ✅ **Resultado (ecuación del plano):** $$\boxed{x - 2y + 3z - 1 = 0}$$

**b) [1,25 puntos] Halla las coordenadas del punto simétrico de $P$ respecto de $r$.** Para hallar el simétrico de $P$ respecto a una recta $r$, seguiremos estos pasos: 1. Hallar un plano $\pi'$ perpendicular a $r$ que pase por $P$. 2. Hallar el punto de intersección $M$ entre $r$ y $\pi'$. Este punto $M$ será la proyección de $P$ sobre $r$. 3. Usar $M$ como punto medio entre $P$ y su simétrico $P'$. El vector normal del plano $\pi'$ será el vector director de la recta $r$: $\vec{n}_{\pi'} = \vec{v}_r = (2, 1, 0)$. La ecuación del plano es de la forma $2x + y + D = 0$. Como pasa por $P(0, 1, 1)$: $$2(0) + 1 + D = 0 \implies D = -1$$ Por tanto, el plano auxiliar es $\pi': 2x + y - 1 = 0$. 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a una recta, el vector director de la recta sirve como vector normal del plano.

Sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi'$ para hallar el punto $M$: $$r: \begin{cases} x = -5 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 2 \end{cases} \quad \text{en} \quad \pi': 2x + y - 1 = 0$$ $$2(-5 + 2\lambda) + (\lambda) - 1 = 0$$ $$-10 + 4\lambda + \lambda - 1 = 0$$ $$5\lambda = 11 \implies \lambda = \frac{11}{5}$$ Ahora calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda$ en la recta: $$x_M = -5 + 2\left(\frac{11}{5}\right) = -5 + \frac{22}{5} = \frac{-25+22}{5} = -\frac{3}{5}$$ $$y_M = \frac{11}{5}$$ $$z_M = 2$$ El punto de proyección es $M\left(-\frac{3}{5}, \frac{11}{5}, 2\right)$.

Si $P'$ es el simétrico de $P(0, 1, 1)$, entonces $M$ es el punto medio del segmento $PP'$: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos las coordenadas de $P'(x', y', z')$: $$x' = 2\left(-\frac{3}{5}\right) - 0 = -\frac{6}{5}$$ $$y' = 2\left(\frac{11}{5}\right) - 1 = \frac{22}{5} - \frac{5}{5} = \frac{17}{5}$$ $$z' = 2(2) - 1 = 3$$ ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{P'\left(-\frac{6}{5}, \frac{17}{5}, 3\right)}$$