Rango de una matriz con parámetro y propiedades de determinantes

**a) [1,5 puntos] Discute el rango de $A$ según los valores de $k$.** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Para una matriz $3 \times 3$, empezamos calculando su determinante para ver cuándo es máximo (rango 3). Calculamos $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} k & 0 & k \\ k + 1 & k & 0 \\ 0 & k + 1 & k + 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (k \cdot k \cdot (k+1)) + (0 \cdot 0 \cdot 0) + (k \cdot (k+1) \cdot (k+1)) - [0 + 0 + 0]$$ $$|A| = k^2(k+1) + k(k+1)^2$$ Factorizamos la expresión para facilitar la búsqueda de raíces: $$|A| = k(k+1) [k + (k+1)] = k(k+1)(2k+1)$$ 💡 **Tip:** Siempre que sea posible, factoriza el determinante en lugar de desarrollar el polinomio completo; esto simplifica mucho encontrar los valores críticos del parámetro.

Igualamos el determinante a cero para hallar los valores de $k$ que hacen que el rango sea menor que 3: $$|A| = 0 \implies k(k+1)(2k+1) = 0$$ Esto nos da tres soluciones: 1. $k = 0$ 2. $k + 1 = 0 \implies k = -1$ 3. $2k + 1 = 0 \implies k = -\frac{1}{2}$

Analizamos los casos según los valores hallados: **Caso 1: $k \neq 0$, $k \neq -1$ y $k \neq -\frac{1}{2}$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por tanto, el rango de la matriz es máximo. **$\text{rango}(A) = 3$** **Caso 2: $k = 0$** La matriz queda: $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. El determinante es 0. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \mathbf{\text{rango}(A) = 2}$$ **Caso 3: $k = -1$** La matriz queda: $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Existe un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \mathbf{\text{rango}(A) = 2}$$ **Caso 4: $k = -\frac{1}{2}$** La matriz queda: $A = \begin{pmatrix} -1/2 & 0 & -1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$. Existe un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -1/2 & 0 \\ 1/2 & -1/2 \end{vmatrix} = 1/4 \neq 0 \implies \mathbf{\text{rango}(A) = 2}$$ ✅ **Resultado (Discusión del rango):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } k \in \mathbb{R} \setminus \{0, -1, -1/2\}, & \text{rango}(A) = 3 \\ \text{Si } k \in \{0, -1, -1/2\}, & \text{rango}(A) = 2 \end{cases}}$$

**b) [1 punto] Para $k = 1$, calcula el determinante de $2 (A^t A^{-1})^{2017}$, siendo $A^t$ la traspuesta de $A$.** Antes de sustituir, aplicaremos las propiedades de los determinantes para simplificar la expresión $|2 (A^t A^{-1})^{2017}|$. Sea $n=3$ la dimensión de la matriz: 1. $|c \cdot M| = c^n \cdot |M|$. Como $A$ es $3 \times 3$, al sacar el 2 fuera del determinante, sale elevado al cubo: $$|2 (A^t A^{-1})^{2017}| = 2^3 \cdot |(A^t A^{-1})^{2017}| = 8 \cdot |(A^t A^{-1})^{2017}|$$ 2. $|M^p| = |M|^p$. El exponente puede salir fuera del determinante: $$8 \cdot |A^t A^{-1}|^{2017}$$ 3. $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$. El determinante del producto es el producto de los determinantes: $$8 \cdot (|A^t| \cdot |A^{-1}|)^{2017}$$ 4. $|A^t| = |A|$ y $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$: $$8 \cdot \left(|A| \cdot \frac{1}{|A|}\right)^{2017} = 8 \cdot (1)^{2017} = 8$$ 💡 **Tip:** No es necesario calcular $A^t$ ni $A^{-1}$ ni elevar a 2017. Las propiedades de los determinantes anulan la dependencia del valor de $k$ (siempre que $|A| \neq 0$).

Para poder aplicar $|A^{-1}| = 1/|A|$, debemos asegurar que $|A| \neq 0$ para $k=1$. Usando la fórmula del apartado (a): $$|A| = 1(1+1)(2(1)+1) = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, la matriz es invertible y la simplificación anterior es válida. $$|2 (A^t A^{-1})^{2017}| = 8 \cdot 1^{2017} = 8$$ ✅ **Resultado (Determinante):** $$\boxed{8}$$