Cálculo de área de un recinto limitado por funciones

**a) [0,5 puntos] Haz un esbozo del recinto descrito.** Para representar el recinto, identificamos primero las funciones que lo delimitan en el primer cuadrante ($x \ge 0, y \ge 0$): 1. El eje $OX$, cuya ecuación es $y = 0$. 2. La recta $y = x$ (bisectriz del primer cuadrante). 3. La función $y = \frac{1}{x^3}$ (función racional decreciente). 4. La recta vertical $x = 3$. Calculamos el punto de intersección entre $y = x$ e $y = \frac{1}{x^3}$: $$x = \frac{1}{x^3} \implies x^4 = 1 \implies x = 1 \text{ (ya que estamos en el primer cuadrante)}.$$ Si $x=1$, entonces $y=1$. El punto de corte es $(1, 1)$. El recinto comienza en el origen $(0,0)$, sigue la recta $y=x$ hasta $x=1$, y a partir de ahí sigue la curva $y=\frac{1}{x^3}$ hasta la recta vertical $x=3$. 💡 **Tip:** Al representar funciones racionales como $1/x^3$, recuerda que tienen asíntotas en los ejes si no hay traslaciones, y decrecen muy rápido para valores de $x \gt 1$.

**b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto.** Observando el esbozo, el recinto debe dividirse en dos intervalos debido al cambio en la función superior en $x=1$: - En $[0, 1]$, la función superior es $y = x$. - En $[1, 3]$, la función superior es $y = \frac{1}{x^3}$. El área total $A$ será la suma de estas dos integrales definidas: $$A = \int_{0}^{1} x \, dx + \int_{1}^{3} \frac{1}{x^3} \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre que el límite superior de la región cambie de una función a otra, debemos dividir la integral en la abscisa del punto de corte.

Calculamos la integral de la recta $y=x$ en el intervalo $[0, 1]$ aplicando la Regla de Barrow: $$I_1 = \int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$$ $$I_1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \text{ unidades}^2.$$ Este valor coincide con el área del triángulo de base 1 y altura 1 que se forma bajo la recta.

Calculamos la integral de la curva $y = x^{-3}$ en el intervalo $[1, 3]$: $$I_2 = \int_{1}^{3} x^{-3} \, dx = \left[ \frac{x^{-2}}{-2} \right]_{1}^{3} = \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_{1}^{3}$$ Aplicamos Barrow: $$I_2 = \left( -\frac{1}{2 \cdot 3^2} \right) - \left( -\frac{1}{2 \cdot 1^2} \right) = -\frac{1}{18} + \frac{1}{2}$$ Para sumar las fracciones, buscamos denominador común ($18$): $$I_2 = -\frac{1}{18} + \frac{9}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \text{ unidades}^2.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ siempre que $n \neq -1$.

Sumamos ambas áreas parciales para obtener el área total del recinto: $$A = I_1 + I_2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{9}$$ Calculamos el mínimo común múltiplo de $2$ y $9$, que es $18$: $$A = \frac{9}{18} + \frac{8}{18} = \frac{17}{18} \text{ unidades}^2.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{17}{18} \approx 0,944 \text{ u}^2}$$

**c) [0,5 puntos] Si consideras la gráfica $y = \frac{1}{x}$ en lugar de $y = \frac{1}{x^3}$, el área del recinto correspondiente ¿será mayor o será menor que la del recinto inicial? ¿por qué?** Comparemos las dos funciones en el intervalo de la segunda parte del recinto, es decir, para $x \in [1, 3]$. Sabemos que para $x \gt 1$, se cumple que $x^3 \gt x$. Al tomar los inversos, la desigualdad se invierte: $$\frac{1}{x} \gt \frac{1}{x^3} \quad \text{para todo } x \in (1, 3].$$ Como la función $y = \frac{1}{x}$ está por encima de $y = \frac{1}{x^3}$ en ese intervalo, la región encerrada bajo la curva será mayor. Por tanto: ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{El área será mayor, ya que } \int_1^3 \frac{1}{x} dx \gt \int_1^3 \frac{1}{x^3} dx \text{ al ser } \frac{1}{x} \gt \frac{1}{x^3} \text{ en } (1,3].}$$ (Específicamente, $\int_1^3 \frac{1}{x} dx = [\ln(x)]_1^3 = \ln 3 \approx 1,098$, que es claramente superior a $4/9 \approx 0,444$).