Estudio de la función coseno hiperbólico: monotonía y recta normal

**a) [2 puntos] Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de $f$. Calcula los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Para estudiar la monotonía y los extremos, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})$: $$f'(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x} \cdot (-1)) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies \frac{e^x - e^{-x}}{2} = 0 \implies e^x - e^{-x} = 0$$ $$e^x = e^{-x}$$ Multiplicando por $e^x$ en ambos miembros: $$e^{2x} = 1 \implies 2x = \ln(1) \implies 2x = 0 \implies x = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$. La ecuación $e^x = \frac{1}{e^x}$ es equivalente a $e^{2x} = 1$, cuya única solución real es $x=0$. $$\boxed{x = 0}$$

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico $x=0$ en el dominio $\mathbb{R}$. Tomamos puntos de prueba: - Para $x = -1$: $f'(-1) = \frac{e^{-1} - e^1}{2} \approx \frac{0.37 - 2.72}{2} \lt 0$. - Para $x = 1$: $f'(1) = \frac{e^1 - e^{-1}}{2} \approx \frac{2.72 - 0.37}{2} \gt 0$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \text{decreciente } (\searrow) & \text{Mínimo} & \text{creciente } (\nearrow) \end{array}$$ **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** - $f(x)$ es **decreciente** en $(-\infty, 0)$. - $f(x)$ es **creciente** en $(0, +\infty)$. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Decreciente: } (-\infty, 0) \quad \text{Creciente: } (0, +\infty)}$$

Dado que la función pasa de ser decreciente a creciente en $x=0$, existe un **mínimo relativo** en dicho punto. Calculamos la ordenada del punto sustituyendo en $f(x)$: $$f(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ No existen más puntos críticos, por lo que no hay más extremos relativos. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (0, 1)}$$

**b) [0,5 puntos] Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.** La ecuación de la recta normal en un punto $x = a$ es: $$y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a)$$ Sin embargo, ya hemos calculado en el apartado anterior que: 1. El punto de tangencia es $(0, f(0)) = (0, 1)$. 2. La pendiente de la tangente es $f'(0) = 0$. Si la pendiente de la recta tangente es $0$ (recta horizontal $y=1$), la recta normal es una **recta vertical** que pasa por el punto de abscisa $x=0$. 💡 **Tip:** Cuando $f'(a) = 0$, la recta tangente es $y = f(a)$ y la recta normal es la recta vertical $x = a$. ✅ **Resultado (Recta normal):** $$\boxed{x = 0}$$