Área de un paralelogramo, plano y cuarto vértice

**a) [1 punto] Calcula el área del paralelogramo.** Para calcular el área de un paralelogramo definido por sus vértices, primero obtenemos dos vectores que partan del mismo punto y que formen dos lados adyacentes del paralelogramo. Utilizaremos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$. Calculamos las componentes restando las coordenadas de los puntos: $$\vec{AB} = B - A = (2 - 1, 2 - 1, 2 - 1) = (1, 1, 1)$$ $$\vec{BC} = C - B = (1 - 2, 3 - 2, 3 - 2) = (-1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que los vértices sean consecutivos en un paralelogramo $ABCD$, los vectores que definen el área deben ser aquellos que comparten un vértice, como $\vec{AB}$ y $\vec{AD}$ o, en este caso, usamos el producto vectorial de dos lados conocidos.

El área del paralelogramo es igual al módulo del producto vectorial de los vectores que forman sus lados: $\text{Área} = |\vec{AB} \times \vec{BC}|$. Calculamos el producto vectorial mediante el determinante: $$\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos desarrollando por Sarrus: $$\vec{w} = [1 \cdot 1 - 1 \cdot 1]\vec{i} - [1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)]\vec{j} + [1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)]\vec{k}$$ $$\vec{w} = (1 - 1)\vec{i} - (1 + 1)\vec{j} + (1 + 1)\vec{k} = (0, -2, 2)$$ Ahora calculamos su módulo: $$\text{Área} = |(0, -2, 2)| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** El módulo de un vector $(v_1, v_2, v_3)$ se calcula como $\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = 2\sqrt{2} \approx 2.828 \text{ u}^2}$$

**b) [1 punto] Halla la ecuación general del plano que contiene a dicho paralelogramo.** Para hallar la ecuación general del plano $\pi$, necesitamos un punto (usaremos $A(1,1,1)$) y un vector normal $\vec{n}$. El vector resultante del producto vectorial de dos vectores contenidos en el plano es perpendicular al mismo. Aprovechamos el vector calculado en el apartado anterior: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{BC} = (0, -2, 2)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional como vector normal: $\vec{n}' = (0, 1, -1)$. La ecuación general del plano tiene la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes de $\vec{n}'$: $$0x + 1y - 1z + D = 0 \implies y - z + D = 0$$ Imponemos que el plano pase por el punto $A(1, 1, 1)$: $$1 - 1 + D = 0 \implies D = 0$$ 💡 **Tip:** La ecuación del plano también se puede obtener resolviendo el determinante $\begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix} = 0$. ✅ **Resultado (Plano):** $$\boxed{\pi \equiv y - z = 0}$$

**c) [0,5 puntos] Calcula las coordenadas del vértice $D$.** En un paralelogramo $ABCD$, los vectores que forman lados opuestos son iguales. Por tanto, se debe cumplir que $\vec{AB} = \vec{DC}$ o equivalentemente $\vec{AD} = \vec{BC}$. Sea $D(x, y, z)$ el vértice buscado. Usamos la condición $\vec{AD} = \vec{BC}$: $$\vec{AD} = D - A = (x - 1, y - 1, z - 1)$$ Sabemos del apartado (a) que $\vec{BC} = (-1, 1, 1)$. Igualamos componente a componente: 1. $x - 1 = -1 \implies x = 0$ 2. $y - 1 = 1 \implies y = 2$ 3. $z - 1 = 1 \implies z = 2$ Por tanto, el punto es $D(0, 2, 2)$. 💡 **Tip:** También puedes verlo geométricamente como $D = A + \vec{BC}$. Al ser un paralelogramo, para llegar de $A$ a $D$ hay que realizar el mismo desplazamiento que para ir de $B$ a $C$. ✅ **Resultado (Vértice D):** $$\boxed{D(0, 2, 2)}$$