Discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros

**a) [1,25 puntos] Discute el sistema según los valores de $m$.** Para discutir el sistema, analizaremos el rango de la matriz de coeficientes $A$ y de la matriz ampliada $A^*$ en función del parámetro $m$. Primero escribimos ambas matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & m - 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & m \\ 2 & 0 & 3 & 2m + 1 \\ 1 & 3 & m - 2 & m - 1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & m - 2 \end{vmatrix} = [1 \cdot 0 \cdot (m-2) + 1 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 3] - [1 \cdot 0 \cdot 1 + 3 \cdot 3 \cdot 1 + (m-2) \cdot 2 \cdot 1]$$ $$|A| = [0 + 3 + 6] - [0 + 9 + 2m - 4] = 9 - (2m + 5) = 4 - 2m$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$4 - 2m = 0 \implies 2m = 4 \implies m = 2$$ 💡 **Tip:** El sistema se comporta de forma distinta si el determinante de la matriz principal es cero o no, según el Teorema de Rouché-Frobenius.

Si **$m \neq 2$**, entonces el determinante $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz $A$ es igual a $3$. Como la matriz ampliada $A^*$ tiene dimensiones $3 \times 4$, su rango máximo también es $3$. Por lo tanto: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una solución única para cada valor de $m \neq 2$. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 2, \text{ el sistema es SCD}}$$

Si **$m = 2$**, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Observamos la matriz $A$ para $m=2$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}$$ Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2 \neq 0$. Por tanto, **$\text{rg}(A) = 2$**. Analizamos ahora el rango de la matriz ampliada $A^*$ sustituyendo $m=2$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 & 5 \\ 1 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ Estudiamos el determinante formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 5 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = [0 + 5 + 12] - [0 + 15 + 2] = 17 - 17 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 que podemos formar con la cuarta columna y las columnas que definen el rango de $A$ son cero (puedes comprobarlo o notar que la fila 2 es la suma de la fila 1 y una combinación), el **$\text{rg}(A^*) = 2$**. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$ (nº de incógnitas), el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m = 2, \text{ el sistema es SCI}}$$

**b) [1,25 puntos] Para $m = 2$, calcula, si es posible, una solución del sistema anterior para la que $z = 17$.** Como hemos visto en el apartado anterior, para $m = 2$ el sistema es compatible indeterminado. Las ecuaciones del sistema son: $$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3z = 5 \\ x + 3y = 1 \end{cases}$$ Se nos pide encontrar la solución particular donde **$z = 17$**. Sustituimos $z = 17$ directamente en la segunda ecuación, ya que solo depende de $x$ y $z$: $$2x + 3(17) = 5$$ $$2x + 51 = 5$$ $$2x = 5 - 51$$ $$2x = -46 \implies x = -23$$ 💡 **Tip:** En sistemas indeterminados, fijar el valor de una incógnita nos permite hallar el resto de valores de forma única si el sistema resultante es determinado.

Ahora que conocemos $x = -23$ y $z = 17$, usamos la tercera ecuación para hallar $y$: $$x + 3y = 1$$ $$-23 + 3y = 1$$ $$3y = 1 + 23$$ $$3y = 24 \implies y = 8$$ Finalmente, comprobamos que estos valores cumplen la primera ecuación (la que no hemos usado para despejar): $$x + y + z = -23 + 8 + 17 = -15 + 17 = 2$$ La ecuación se cumple, ya que $2 = 2$. La solución del sistema para $m=2$ con $z=17$ es el punto $(-23, 8, 17)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x, y, z) = (-23, 8, 17)}$$