Cálculo de una función a partir de su segunda derivada

Para obtener la función $f'(x)$ a partir de la segunda derivada $f''(x) = xe^x$, debemos realizar la integral indefinida: $$f'(x) = \int f''(x) \, dx = \int xe^x \, dx$$ Para resolver esta integral, utilizamos el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla útil para elegir $u$ es la regla **ALPES** (Arco, Logaritmo, Polinomio, Exponencial, Seno/Coseno). Elegimos: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = e^x dx \implies v = e^x$ Aplicando la fórmula: $$f'(x) = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C_1$$ Simplificando: $$f'(x) = (x - 1)e^x + C_1$$

El enunciado indica que la función tiene un **extremo relativo en $x = 1$**. Para una función derivable en todo $\mathbb{R}$, esto implica que su primera derivada en ese punto es igual a cero: $$f'(1) = 0$$ Sustituimos $x = 1$ en la expresión de $f'(x)$ obtenida anteriormente: $$f'(1) = (1 - 1)e^1 + C_1 = 0$$ $$0 \cdot e + C_1 = 0 \implies C_1 = 0$$ Por tanto, la primera derivada es: $$\boxed{f'(x) = (x - 1)e^x}$$

Para hallar $f(x)$, integramos la primera derivada: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (x - 1)e^x \, dx$$ Aplicamos de nuevo el método de **integración por partes**: - $u = x - 1 \implies du = dx$ - $dv = e^x dx \implies v = e^x$ Calculamos la integral: $$f(x) = (x - 1)e^x - \int e^x \, dx = (x - 1)e^x - e^x + C_2$$ Sacando factor común $e^x$: $$f(x) = (x - 1 - 1)e^x + C_2 = (x - 2)e^x + C_2$$

Se nos dice que la gráfica de la función **pasa por el origen de coordenadas**, lo que significa que: $$f(0) = 0$$ Sustituimos en la expresión de $f(x)$: $$f(0) = (0 - 2)e^0 + C_2 = 0$$ $$-2 \cdot 1 + C_2 = 0 \implies C_2 = 2$$ Finalmente, la función buscada es: $$\boxed{f(x) = (x - 2)e^x + 2}$$ Podemos verificar rápidamente: 1. $f(0) = (0-2)e^0 + 2 = -2 + 2 = 0$ (Pasa por el origen). 2. $f'(x) = (x-1)e^x$, por lo que $f'(1) = 0$ (Extremo en $x=1$). 3. $f''(x) = 1 \cdot e^x + (x-1)e^x = xe^x$ (Se cumple la condición inicial).