Optimización de la superficie de una tarjeta rectangular

Para resolver este problema de optimización, lo primero es definir las variables que representan las dimensiones de la zona impresa y de la tarjeta total. Sean: - $x$: la anchura de la zona impresa (en $\text{cm}$). - $y$: la altura de la zona impresa (en $\text{cm}$). Sabemos que la superficie de la zona impresa es de $100\text{ cm}^2$, por lo tanto: $$x \cdot y = 100 \implies y = \frac{100}{x}$$ Ahora definimos las dimensiones totales de la tarjeta, teniendo en cuenta los márgenes: - Ancho total de la tarjeta: $X = x + 5 + 5 = x + 10$ - Alto total de la tarjeta: $Y = y + 2 + 3 = y + 5$ La función que queremos minimizar es la superficie total de papel, $S$: $$S = X \cdot Y = (x + 10)(y + 5)$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre identifica la restricción (el dato fijo, como el área impresa) para expresar la función objetivo en términos de una sola variable.

Sustituimos $y = \dfrac{100}{x}$ en la expresión de la superficie total $S$: $$S(x) = (x + 10) \left( \frac{100}{x} + 5 \right)$$ Multiplicamos para simplificar la expresión: $$S(x) = x \cdot \frac{100}{x} + 5x + 10 \cdot \frac{100}{x} + 50$$ $$S(x) = 100 + 5x + \frac{1000}{x} + 50$$ $$S(x) = 5x + \frac{1000}{x} + 150$$ El dominio de esta función es $x \in (0, +\infty)$, ya que $x$ representa una longitud. $$\boxed{S(x) = 5x + \frac{1000}{x} + 150}$$

Para encontrar el mínimo, derivamos la función $S(x)$ con respecto a $x$ e igualamos a cero: $$S'(x) = 5 - \frac{1000}{x^2}$$ Igualamos la derivada a cero: $$5 - \frac{1000}{x^2} = 0 \implies 5 = \frac{1000}{x^2} \implies 5x^2 = 1000$$ $$x^2 = \frac{1000}{5} = 200$$ $$x = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2} \approx 14,14 \text{ cm}$$ Descartamos la solución negativa $x = -10\sqrt{2}$ porque las dimensiones deben ser positivas. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $1/x$ es $-1/x^2$. Esto agiliza mucho los cálculos en optimización.

Para confirmar que $x = 10\sqrt{2}$ es un mínimo, estudiamos el signo de $S'(x)$ a su alrededor: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 10\sqrt{2}) & 10\sqrt{2} & (10\sqrt{2}, +\infty)\\ \hline S'(x) & - & 0 & +\\ \hline S(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array} $$ - Si $0 \lt x \lt 10\sqrt{2}$, entonces $S'(x) \lt 0$ (la función decrece). - Si $x \gt 10\sqrt{2}$, entonces $S'(x) \gt 0$ (la función crece). Como la función pasa de decreciente a creciente, en $x = 10\sqrt{2}$ hay un **mínimo relativo** que, al ser el único extremo en el dominio, es el mínimo absoluto. También podríamos usar la segunda derivada: $$S''(x) = \frac{2000}{x^3}$$ Como $S''(10\sqrt{2}) \gt 0$, confirmamos que es un mínimo.

Ya conocemos la anchura de la zona impresa $x = 10\sqrt{2}$. Calculamos la altura de la zona impresa $y$: $$y = \frac{100}{10\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7,07 \text{ cm}$$ Finalmente, calculamos las dimensiones de la tarjeta total ($X$ e $Y$): **Ancho de la tarjeta:** $$X = x + 10 = 10\sqrt{2} + 10 \approx 24,14 \text{ cm}$$ **Alto de la tarjeta:** $$Y = y + 5 = 5\sqrt{2} + 5 \approx 12,07 \text{ cm}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Ancho: } (10\sqrt{2} + 10) \text{ cm, Alto: } (5\sqrt{2} + 5) \text{ cm}}$$