Vectores dependientes, ortogonalidad y volumen de un tetraedro

**a) [1,25 puntos] Halla $m$ y $n$ sabiendo que $\vec{u}, \vec{v}$ y $\vec{w}$ son linealmente dependientes y que $\vec{w}$ es ortogonal a $\vec{u}$.** Tres vectores en $\mathbb{R}^3$ son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es igual a cero. Disponemos los vectores en filas (o columnas) para calcularlo: $$\text{det}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ m & 1 & n \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante aplicando la regla de Sarrus: $$\text{det} = (1 \cdot 2 \cdot n) + (0 \cdot 1 \cdot 1) + (0 \cdot 1 \cdot m) - (1 \cdot 2 \cdot m) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (0 \cdot 0 \cdot n)$$ $$\text{det} = 2n + 0 + 0 - 2m - 1 - 0 = 2n - 2m - 1$$ Para que sean linealmente dependientes, imponemos: $$2n - 2m - 1 = 0 \implies 2n - 2m = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante es cero, los vectores son coplanarios (viven en el mismo plano) y por tanto no forman una base de $\mathbb{R}^3$.

La segunda condición nos dice que $\vec{w}$ es ortogonal a $\vec{u}$. Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es nulo: $$\vec{w} \cdot \vec{u} = 0 \implies (m, 1, n) \cdot (1, 0, 1) = 0$$ $$m(1) + 1(0) + n(1) = 0 \implies m + n = 0 \implies m = -n$$ Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones con las dos condiciones obtenidas: 1) $2n - 2m = 1$ 2) $m = -n$ Sustituimos (2) en (1): $$2n - 2(-n) = 1 \implies 2n + 2n = 1 \implies 4n = 1 \implies n = \frac{1}{4}$$ Como $m = -n$, entonces: $$m = -\frac{1}{4}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = -\frac{1}{4}, \quad n = \frac{1}{4}}$$

**b) [1,25 puntos] Para $n = 1$, halla los valores de $m$ para que el tetraedro determinado por $\vec{u}, \vec{v}$ y $\vec{w}$ tenga volumen 10 unidades cúbicas.** El volumen de un tetraedro definido por tres vectores es la sexta parte del valor absoluto de su producto mixto: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]| = \frac{1}{6} |\text{det}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})|$$ Con $n = 1$, el vector $\vec{w}$ es $(m, 1, 1)$. Calculamos de nuevo el determinante: $$\text{det} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ m & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2 + 0 + 0) - (2m + 1 + 0) = 2 - 2m - 1 = 1 - 2m$$ 💡 **Tip:** El producto mixto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ representa el volumen del paralelepípedo. El tetraedro es exactamente $\frac{1}{6}$ de dicho volumen. Planteamos la ecuación del volumen: $$\frac{1}{6} |1 - 2m| = 10 \implies |1 - 2m| = 60$$

La ecuación $|1 - 2m| = 60$ da lugar a dos posibles casos: **Caso 1:** $$1 - 2m = 60 \implies -2m = 59 \implies m = -\frac{59}{2} = -29.5$$ **Caso 2:** $$1 - 2m = -60 \implies -2m = -61 \implies m = \frac{61}{2} = 30.5$$ Ambos valores de $m$ cumplen la condición de que el volumen sea de 10 unidades cúbicas, situando al vector $\vec{w}$ a un lado u otro del plano formado por $\vec{u}$ y $\vec{v}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = -\frac{59}{2}, \quad m = \frac{61}{2}}$$