Sistema de ecuaciones: Problema de precios

**a) [1,5 puntos] Sabiendo que 1 lápiz y 7 rotuladores cuestan 25 euros ¿podemos deducir el precio de cada uno de los artículos? Razona la respuesta.** En primer lugar, definimos las variables que representan los precios unitarios de cada artículo: - $x$: precio de un lápiz (€). - $y$: precio de un rotulador (€). - $z$: precio de una carpeta (€). A partir del enunciado, planteamos las dos ecuaciones iniciales: 1. $3x + y + 2z = 15$ 2. $2x + 4y + z = 20$ En el apartado a), se nos da una tercera condición: $x + 7y = 25$. El sistema completo es: $$\begin{cases} 3x + y + 2z = 15 \\ 2x + 4y + z = 20 \\ x + 7y = 25 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre define claramente qué representa cada variable antes de escribir las ecuaciones.

Para saber si podemos deducir el precio, debemos comprobar si el sistema tiene una solución única (Sistema Compatible Determinado). Estudiamos los rangos de la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$. $$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 7 & 0 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 1 & 2 & 15 \\ 2 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 7 & 0 & 25 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 7 & 0 \end{vmatrix} = 3(0-7) - 1(0-1) + 2(14-4)$$ $$|A| = -21 + 1 + 20 = 0$$ Como $|A| = 0$, el **rango de $A$ es menor que 3**. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 12 - 2 = 10 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Calculamos ahora el rango de $A^*$ comprobando el determinante de una submatriz que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 3 & 1 & 15 \\ 2 & 4 & 20 \\ 1 & 7 & 25 \end{vmatrix} = 3(100 - 140) - 1(50 - 20) + 15(14 - 4)$$ $$= 3(-40) - 30 + 15(10) = -120 - 30 + 150 = 0$$ Como todos los determinantes de orden 3 son cero, **rg($A^*$) = 2**. 💡 **Tip:** Recuerda el Teorema de Rouché-Frobenius: Si rg(A) = rg(A*) < n (nº incógnitas), el sistema es Compatible Indeterminado (infinitas soluciones).

Dado que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2$ y el número de incógnitas es $n=3$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. Esto significa que existen infinitas combinaciones de precios que satisfacen las tres condiciones dadas. Por lo tanto, no podemos determinar de forma única el precio de cada artículo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, no podemos deducir el precio de cada artículo por ser un SCI.}}$$

**b) [1 punto] Si por el precio de una carpeta se pueden comprar 10 lápices ¿cuánto cuesta cada uno de los artículos?** Se nos da una nueva relación: el precio de una carpeta es igual a 10 lápices: $$z = 10x$$ Sustituimos esta relación en las dos ecuaciones originales del problema: 1. $3x + y + 2(10x) = 15 \implies 23x + y = 15$ 2. $2x + 4y + (10x) = 20 \implies 12x + 4y = 20$ Podemos simplificar la segunda ecuación dividiendo entre 4: $$3x + y = 5$$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} 23x + y = 15 \\ 3x + y = 5 \end{cases}$$

Utilizamos el método de reducción restando la segunda ecuación a la primera: $$(23x + y) - (3x + y) = 15 - 5$$ $$20x = 10 \implies x = \frac{10}{20} = 0,5$$ Una vez obtenido el valor de $x$, despejamos $y$ de la ecuación $3x + y = 5$: $$y = 5 - 3(0,5) = 5 - 1,5 = 3,5$$ Finalmente, calculamos $z$ usando la relación inicial: $$z = 10x = 10(0,5) = 5$$ 💡 **Tip:** Siempre verifica los resultados sustituyéndolos en las ecuaciones originales para asegurar que no ha habido errores de cálculo.

Los precios de los artículos son: - Lápiz ($x$): **0,50 euros** - Rotulador ($y$): **3,50 euros** - Carpeta ($z$): **5,00 euros** ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Lápiz: 0,50 €; Rotulador: 3,50 €; Carpeta: 5,00 €}}$$