Integral definida mediante cambio de variable

**Ejercicio 2.- [2,5 puntos] Calcula $\int_{1}^{16} \frac{dx}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}$ (sugerencia $t = \sqrt[4]{x}$).** Siguiendo la sugerencia del enunciado, realizamos el cambio de variable $t = \sqrt[4]{x}$. Para poder sustituir en la integral, necesitamos expresar $x$ y $dx$ en función de $t$: Si $t = x^{1/4} \implies x = t^4$. Derivamos para obtener el diferencial: $$dx = 4t^3 \, dt$$ Además, expresamos el otro término del denominador en función de $t$: $$\sqrt{x} = (x^{1/4})^2 = t^2$$ 💡 **Tip:** En integrales con raíces de distinto índice ($\sqrt{x}$ y $\sqrt[4]{x}$), un cambio muy común es igualar $x$ a $t^n$ donde $n$ es el mínimo común múltiplo de los índices (m.c.m(2, 4) = 4).

Al realizar un cambio de variable en una integral definida, es muy recomendable cambiar los límites de integración para trabajar directamente en la nueva variable $t$: - Si $x = 1 \implies t = \sqrt[4]{1} = 1$. - Si $x = 16 \implies t = \sqrt[4]{16} = 2$. Nuestros nuevos límites irán de $t=1$ a $t=2$. $$\boxed{x \in [1, 16] \to t \in [1, 2]}$$

Sustituimos todos los elementos en la integral original: $$\int_{1}^{16} \frac{dx}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}} = \int_{1}^{2} \frac{4t^3 \, dt}{t^2 + t}$$ Podemos simplificar la fracción extrayendo factor común $t$ en el denominador: $$\int_{1}^{2} \frac{4t^3}{t(t + 1)} \, dt = \int_{1}^{2} \frac{4t^2}{t + 1} \, dt$$ Sacamos la constante fuera de la integral: $$4 \int_{1}^{2} \frac{t^2}{t + 1} \, dt$$

Como el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, realizamos la división de $t^2$ entre $t + 1$: $$\begin{array}{r|l} t^2 & t + 1 \\ \hline -t^2 - t & t - 1 \\ \hline -t & \\ t + 1 & \\ \hline 1 & \end{array}$$ Utilizando la propiedad $\frac{\text{Dividendo}}{\text{Divisor}} = \text{Cociente} + \frac{\text{Resto}}{\text{Divisor}}$: $$\frac{t^2}{t+1} = t - 1 + \frac{1}{t+1}$$ Sustituimos en la integral: $$4 \int_{1}^{2} \left( t - 1 + \frac{1}{t+1} \right) dt$$

Integramos término a término: $$4 \left[ \frac{t^2}{2} - t + \ln|t+1| \right]_{1}^{2}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**, evaluando en el límite superior y restando la evaluación en el límite inferior: $$4 \left( \left( \frac{2^2}{2} - 2 + \ln|2+1| \right) - \left( \frac{1^2}{2} - 1 + \ln|1+1| \right) \right)$$ $$4 \left( (2 - 2 + \ln 3) - \left( \frac{1}{2} - 1 + \ln 2 \right) \right)$$ $$4 \left( \ln 3 - \left( -\frac{1}{2} + \ln 2 \right) \right) = 4 \left( \ln 3 + \frac{1}{2} - \ln 2 \right)$$ Multiplicamos por el 4 exterior: $$4\ln 3 + 2 - 4\ln 2 = 2 + 4(\ln 3 - \ln 2) = 2 + 4\ln\left(\frac{3}{2}\right)$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{2 + 4\ln\left(\frac{3}{2}\right) \approx 3.6218}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln a - \ln b = \ln(a/b)$.